Wiskundeforum

@op=op: betreffende je opmerkingen: Opmerking 1: Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1: hieraan moeten we de beperking toevoegen: p \neq q en q \neq 1 Opmerking 2: \frac{p^2}{p^2}=1 \leftrightarrow p^2 = p^2 (beide leden vermenigvuldigen met p²) \leftrightarrow p^2 - kpq = p^2 -...

Sjoerd Job schreef:Stel dat de kleinste is waarvoor een te vinden is. Toch is er een kleinere...

Bedoel je dat ik moet stellen dat p en q geen gemeenschappelijke factoren hebben (de breuk p/q is helemaal vereenvoudigd)? En dan aantonen dat er toch een kleinere q bestaat?

Bewijs dat, als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dat de vierkantswortel van n irrationaall is. Tip: Als p,q positieve gehele getallen zijn zodat (p/q)² = n, en k is een positief geheel getal zodat k < p/q < k+1, toon dan aan dat: 0 < p-kq < q (1) en \frac{nq-kp}{p-kq}...

dit is een test om te kijken of ik vanuit de browser w3m een bericht kan posten op dit forum. w3m is een tekst-georienteerde browser voor de console (dwz een command line systeem zonder windows).

Ik heb niet alles gecontroleerd, maar het ziet er goed uit. Klopt jouw tekening? Dit is een vb van een cirkelbundel en de lijn is de machtlijn van de bundel in overeenstemming met de definitie van machtlijn van (twee) cirkels. De tekening klopt: elke cirkel heb ik getekend met de passer en ze snijd...

voor E1: (x-2)² + (y-1)² = 16 (cirkel met middelpunt (2,1) en straal 4) voor E2: (x-6)² + (y-4)² = 9 (cirkel met middelpunt (6,4) en straal 3) Anders gezegd: E1: x² + y² - 4x - 2y - 11 = 0 E2: x² + y² - 12x - 8y + 43 = 0 Als ik k = -1 neem : x² + y² - 4x - 2y - 11 -(x² + y² - 12x - 8y + 43) = 0 x² +...

Overigens is het niet noodzakelijk dat E1 en E2 ptn gemeenschappelijk hebben. Ben je het hiermee eens? Ja, want als de som van de stralen van E1 en E2 groter is dan de afstand tussen hun middelpunten, dan hebben ze geen snijpunt(en). Als de som van hun stralen exact gelijk is aan de afstand tussen ...

Dus hebben we nu aangetoond, dat als (x1, y1) op E1 ligt, en we willen dat hij op de derde cirkel ligt, dat hij dan ook op E2 moet liggen. Precies. Dus als de beide cirkels E1 en E2 snijptn hebben, dan zijn dit ook ptn van de derde verg voor alle waarden van k, ook voor k=-1. voor alle duidelijkhei...

Als we een punt (x1, y1) op E1 nemen, dan geldt: E1: x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_1 x_1 + B_1 y_1 + C_1 = 0 Als we nu willen dat dit punt op de derde cirkel ligt, moet het voldoen aan: x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_1 x_1 + B_1 y_1 + C_1 + k (x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_2 x_1 + B_2 y_1 + C_2) = 0 Maar het eerste deel is de vgl...

Dus als we een punt (x1, y1) nemen dat op E1 ligt, dan: E1: x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_1 x_1 + B_1 y_1 + C_1 = 0 en dus ligt het punt op de derde cirkel als E2: x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_2 x_1 + B_2 y_1 + C_2 = 0 Dus ook voor: k (x_1 ^2 + y_1 ^2 + A_2 x_1 + B_2 y_1 + C_2) = 0 en bijgevolg ook voor : x_1 ^2 + y_1...

\\edit: ik denk dat ik het heb. Ik kom meteen terug.

SafeX schreef:Ok, Stel (0,0) is een punt van E1 maar niet van E2.
Wat weet je nu van C1?
En van C2?

Als (0,0) op E1 ligt, dan is C1 = 0, anders klopt de vgl. van E1 niet.
Als (0,0) niet op E2 ligt, dan is C2 verschillend van 0.

SafeX schreef:Neem een willekeurig punt van E1, dus die verg geeft 0, maar k maal de verg van E2?
Kijk ook naar een punt van E2. Hoe zit het dan?

sorry, SafeX, ik snap niet wat je wil zeggen.

Heb je door dat elk punt van E1 geeft verg E1 voldoet. Bedoel je dat elk punt van de cirkel E1 voldoet aan de vgl. van E1? Ja, dat heb ik door. Eveneens voldoet elk punt van E2 aan vgl. E2. Welke ptn voldoen dan aan de derde verg ongeacht de waarde van k. Elk punt van E1 en van E2 want E1 + k E2 = 0

P + kQ = 0.

Als Q = 0, dan is kQ = 0 voor elke k
Als dus P = 0 en Q = 0, dan is P + kQ inderdaad = 0

Als k = -1, dan kunnen we de x² en y² uit beide vgl schrappen en hebben we een lineaire vgl.