http://i54.tinypic.com/347fvcj.png
Nu heb ik bij toeval deze formule gevonden
Dit is trouwens de link van het e-book waar ik uit werk:
http://www.math.vt.edu/people/day/ProofsBook/IPaMV.pdf
Bewijzen
Re: Bewijzen
In 1 van de volgende opdrachten staat deze vraag:
http://i54.tinypic.com/347fvcj.png
Nu heb ik bij toeval deze formule gevonden)
voor min(a,b) Maar hoe bewijs je zoiets? Ik weet dat er staat dat het niet hoeft, maar ik ben toch nieuwsgierig
Dit is trouwens de link van het e-book waar ik uit werk:
http://www.math.vt.edu/people/day/ProofsBook/IPaMV.pdf
http://i54.tinypic.com/347fvcj.png
Nu heb ik bij toeval deze formule gevonden
Dit is trouwens de link van het e-book waar ik uit werk:
http://www.math.vt.edu/people/day/ProofsBook/IPaMV.pdf
Re: Bewijzen
Het is geen probleem nieuwsgierig te zijn! Goed van je 
Stel a=6 en b=-4
dan
=1/2(6--4+|6+-4|)=1/2(10+2)=6)
Maar het minimum van 6 en -4 is -4.
Je zou als je de formule van max(a,b) weet kunnen gebruiken:
 + \text{min}(a,b)}{2}=\frac{a+b}{2})
=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|))
Dus
=\frac{1}{2}(a+b-|a-b|))
Maar zo wil je het waarschijnlijk niet doen.
Een manier om te herkennen dat je formule niet altijd juist is is aan het volgende:
Je moet de getallen altijd kunnen verwisselen;
min(a,b)=min(b,a); de volgorde mag niet uitmaken.
Maar in je formule werk je met a-b. Maar als je de volgorde verwisseld wordt dat b-a. Niet wat je wilt, want dat is niet altijd hetzelfde.
De relatie optellen is symmetrisch, omdat geldt
De relatie aftrekken is asymmetrisch, omdat geldt
voor 
En je wilt de symmetrie; de mogelijkheid getallen om te wisselen gebruiken.
Laat ons beginnen met hetzelfde voorbeeld, om de formule te vinden.
a=6 en b=-4
min(6,-4)
Het gemiddelde van 6 en -4 = 1.
Je wilt er nu 5 vanaf halen. 5=(6--4)/2 = (a-b)/2
Je weet |x|=|-x| dus |a-b|=|b-a|
*(a+b)-(1/2)*(|a-b|)=1/2(a+b-|a-b|))
Nu nog bewijzen.
voor 
en
voor 
Stel: a<b dan a-b<0 dus |a-b|=-(a-b)=b-a
dan=1/2(a+b-(b-a))=1/2(2a)=a)
is het minimum van a en b (we stelden: a<b).
Er is nog een geval: a>=b. Kan je hiervoor ook bewijzen dat de functie werkt?
Zie je hoe je de fundamenten eerder uit het topic kunt gebruiken om verder te gaan in het bewijzen?
Ik weet niet hoe nieuwsgierig je bent, maar als je nog verder onderzoek wilt doen, kan je bijv. een functie zoeken voor)
Stel a=6 en b=-4
dan
Maar het minimum van 6 en -4 is -4.
Je zou als je de formule van max(a,b) weet kunnen gebruiken:
Dus
Maar zo wil je het waarschijnlijk niet doen.
Een manier om te herkennen dat je formule niet altijd juist is is aan het volgende:
Je moet de getallen altijd kunnen verwisselen;
min(a,b)=min(b,a); de volgorde mag niet uitmaken.
Maar in je formule werk je met a-b. Maar als je de volgorde verwisseld wordt dat b-a. Niet wat je wilt, want dat is niet altijd hetzelfde.
De relatie optellen is symmetrisch, omdat geldt
De relatie aftrekken is asymmetrisch, omdat geldt
Laat ons beginnen met hetzelfde voorbeeld, om de formule te vinden.
a=6 en b=-4
min(6,-4)
Het gemiddelde van 6 en -4 = 1.
Je wilt er nu 5 vanaf halen. 5=(6--4)/2 = (a-b)/2
Je weet |x|=|-x| dus |a-b|=|b-a|
Nu nog bewijzen.
Stel: a<b dan a-b<0 dus |a-b|=-(a-b)=b-a
dan
Er is nog een geval: a>=b. Kan je hiervoor ook bewijzen dat de functie werkt?
Zie je hoe je de fundamenten eerder uit het topic kunt gebruiken om verder te gaan in het bewijzen?
Ik weet niet hoe nieuwsgierig je bent, maar als je nog verder onderzoek wilt doen, kan je bijv. een functie zoeken voor
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Stel 
dan 
dus )
Daarom= 1/2 (a+b-(a-b))=1/2(2b))
ik heb het geprobeerd voor min(a,b,c), maar ik weet simpelweg totaal niet waar ik mee moet beginnen? Hoe pak je zoiets aan?
Ik ben trouwens erg geïnteresseerd/nieuwsgierig naar wiskunde, ik heb nu zomervakantie en ik wil mijn wiskunde niveau (een groot stuk) omhoog halen. Mijn niveau is momenteel iets hoger dan VWO wiskunde A, omdat ik nu net een eerste jaar economie heb gestudeerd waarin ik ook aardig wat wiskunde heb gekregen. Ik vind mijn wiskunde niveau nu erg laag, dus als je nog tips heb voor boeken die goed zijn? Of e-books
Ik loop vooral ver achter met goniometrie en meetkunde 
Daarom
ik heb het geprobeerd voor min(a,b,c), maar ik weet simpelweg totaal niet waar ik mee moet beginnen? Hoe pak je zoiets aan?
Ik ben trouwens erg geïnteresseerd/nieuwsgierig naar wiskunde, ik heb nu zomervakantie en ik wil mijn wiskunde niveau (een groot stuk) omhoog halen. Mijn niveau is momenteel iets hoger dan VWO wiskunde A, omdat ik nu net een eerste jaar economie heb gestudeerd waarin ik ook aardig wat wiskunde heb gekregen. Ik vind mijn wiskunde niveau nu erg laag, dus als je nog tips heb voor boeken die goed zijn? Of e-books
Ik loop vooral ver achter met goniometrie en meetkunde Re: Bewijzen
Dit stuk volgende ik trouwens ook niet helemaal:
"Je zou als je de formule van max(a,b) weet kunnen gebruiken:
Dus
"
Hoe kom je nou zo snel aan de min(a,b) formule en waarom deel je door 2?
"Je zou als je de formule van max(a,b) weet kunnen gebruiken:
Dus
Hoe kom je nou zo snel aan de min(a,b) formule en waarom deel je door 2?
Re: Bewijzen
Je bewijs is goed.
Daar had moeten staan:
 + \text{min}(a,b)=a+b)
Dan geldt dus ook:
=a+b-\text{max}(a,b))
We hadden een formule voor)
;
Dan kan je invullen en vereenvoudigen. Lukt dat?
Het had ook gekund met de deling door 2, maar dan kan je sneller slordigheidsfouten maken.
Ik begin eigenlijk altijd met getallenvoorbeelden. Hoe zou je het minimum van drie getallen, bijv. 2, 1 en 3 kunnen vinden. Je weet al een formule voor het minimum van 2 getallen. We kunnen het minimum van 2 en 1 bepalen. 1. Nu nog het minimum van 1 en 3.
Dan kom ik hierop uit:=\text{min}(\text{min}(a,b),c))
Begrijp je waarom? Kan je hiermee verder?
Mogelijk heb je meer vaardigheden in wiskunde dan ik. Ik heb mijn VWO met wiskunde B1,2, dat wordt nu niet meer (regulier) aangeboden. Wat ik nu nog bijleer is hobby. Ik weet niet goed welke boeken goed zijn. Misschien iemand anders hier.
Je kan ook eens kijken op dit forum. Daar is denk ik veel informatie over meetkunde en vooral over goniometrie. Ook goed voor je engels. Verder is daar ook een subforum voor boeken. In dat laatste heb ik niet veel gekeken, maar misschien kan je daar ook iets vinden.
Ik vind je nieuwsgierigheid leuk. Schroom niet om te vragen.
Daar had moeten staan:
Dan geldt dus ook:
We hadden een formule voor
Dan kan je invullen en vereenvoudigen. Lukt dat?
Het had ook gekund met de deling door 2, maar dan kan je sneller slordigheidsfouten maken.
Ik begin eigenlijk altijd met getallenvoorbeelden. Hoe zou je het minimum van drie getallen, bijv. 2, 1 en 3 kunnen vinden. Je weet al een formule voor het minimum van 2 getallen. We kunnen het minimum van 2 en 1 bepalen. 1. Nu nog het minimum van 1 en 3.
Dan kom ik hierop uit:
Begrijp je waarom? Kan je hiermee verder?
Mogelijk heb je meer vaardigheden in wiskunde dan ik. Ik heb mijn VWO met wiskunde B1,2, dat wordt nu niet meer (regulier) aangeboden. Wat ik nu nog bijleer is hobby. Ik weet niet goed welke boeken goed zijn. Misschien iemand anders hier.
Je kan ook eens kijken op dit forum. Daar is denk ik veel informatie over meetkunde en vooral over goniometrie. Ook goed voor je engels. Verder is daar ook een subforum voor boeken. In dat laatste heb ik niet veel gekeken, maar misschien kan je daar ook iets vinden.
Ik vind je nieuwsgierigheid leuk. Schroom niet om te vragen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Eerst even vereenvoudigen:
=a+b-max(a,b)=a+b-1/2(a+b+\left | a-b \right |)=a+b-1/2a-1/2b-1/2\left | a-b \right |=1/2a+1/2b-1/2\left | a-b \right |=1/2(a+b-\left | a-b \right |))
Verder heb ik voor
=min(min(a,b),c)=min(1/2(a+b-\left | a-b \right |),c)=1/2(1/2(a+b-\left | a-b \right |)+c-\left | (1/2(a+b \right \left -|a-b \right |)-c|))
Klopt dit? Zo ja, valt het dan nog mooier op te schrijven? Of kan ik nog iets bewijzen?
Verder heb ik voor
Klopt dit? Zo ja, valt het dan nog mooier op te schrijven? Of kan ik nog iets bewijzen?
Re: Bewijzen
Je werk klopt, ik zou het zo laten staan (alleen heb ik zelf voor 1/2, 0.5 ingevuld.)
Op zich, je hebt al bewezen functies gebruikt, maar je zou alle mogelijke gevallen (a<=b<=c, etc.) kunnen doorlopen en bewijzen dat het klopt.
Op zich, je hebt al bewezen functies gebruikt, maar je zou alle mogelijke gevallen (a<=b<=c, etc.) kunnen doorlopen en bewijzen dat het klopt.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Bedankt voor de hulp! ik snap nu precies hoe het in elkaar zit 
Het enige wat ik nog niet snap is hoe je in de eerste instantie aan die formule komt. In het boek wordt de formule voor max(a,b) gegeven, maar hoe is men daarop gekomen? Dan doel ik vooral op het + of - 
in de formule.
Het enige wat ik nog niet snap is hoe je in de eerste instantie aan die formule komt. In het boek wordt de formule voor max(a,b) gegeven, maar hoe is men daarop gekomen? Dan doel ik vooral op het + of - Re: Bewijzen
Je wilt ofwel een (positieve) constante optellen ofwel aftrekken. Het mooiste is als die constanten gelijk zijn. Zie het als afstand. Dan kan je het gemiddelde gebruiken.
Als a<=b dan moet je ... aftrekken
Als b<=a dan moet je ... optellen.
Gebruik nu de definitie voor absolute waarden om er een formule van te maken.
Er zijn nog meer mogelijkheden om te onderzoeken dan we nu deden. Als je wilt. Heb je zelf ideeën?
Code: Selecteer alles
*_________________*_________________*
a 0.5a+0.5b bAls b<=a dan moet je ... optellen.
Gebruik nu de definitie voor absolute waarden om er een formule van te maken.
Er zijn nog meer mogelijkheden om te onderzoeken dan we nu deden. Als je wilt. Heb je zelf ideeën?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Ik zie het nu inderdaad. Ik vind het alleen wel moeilijk om zelf een andere manier te bedenken. Wil ik wel doen trouwens, kun je me (alweer) een voorzetje geven?
Re: Bewijzen
Bedoel je andere manieren om een formule voor min(a,b) te bepalen? De enige manieren die ik zo kan bedenken is met een getallenvoorbeeld, enigszins trial and error, en de manier die ik pas aanbood.
in a, b en c is een getal het kleinst, daar hebben we een functie voor. Evenzo is er een functie te bepalen voor het vinden van het grootste getal. Je kan nog een functie zoeken van het middelste getal. Dat wordt meer toepassen wat je hebt kunnen leren.
Je kan verder functies zoeken voor bijv. het op een na grootste getal van 4 elementen. Die functies worden wel lang.
in a, b en c is een getal het kleinst, daar hebben we een functie voor. Evenzo is er een functie te bepalen voor het vinden van het grootste getal. Je kan nog een functie zoeken van het middelste getal. Dat wordt meer toepassen wat je hebt kunnen leren.
Je kan verder functies zoeken voor bijv. het op een na grootste getal van 4 elementen. Die functies worden wel lang.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Als functie voor het grootste getal:
=max(max(a,b),c)=0.5(0.5(a+b+\left | a-b \right |)+c+\left | 0.5(a+b+\left | a-b \right |) \right -c|))
Hoe zou jij beginnen om een formule te maken voor het middelste getal?
Hoe zou jij beginnen om een formule te maken voor het middelste getal?
Re: Bewijzen
Je functie voor max(a,b,c) klopt.
Voor 2 getallen konden we gebruiken:
a+b=min(a,b)+max(a,b)
Heb je nu een idee wat we voor 3 getallen kunnen gebruiken?
Geef (eventueel) de functie voor het middelste getal een naam.
Voor 2 getallen konden we gebruiken:
a+b=min(a,b)+max(a,b)
Heb je nu een idee wat we voor 3 getallen kunnen gebruiken?
Geef (eventueel) de functie voor het middelste getal een naam.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Bewijzen
Dan min(a,b,c) en max(a,b,c) invullen en dan hebben we een nieuwe formule voor mid(a,b,c) lijkt mij. Die wordt best lang
Re: Bewijzen
Ik zag dat bij offline, je functie voor max(a,b,c) niet helemaal te lezen is. Hier is die nog eens, in 2 regels. \\ in code om een regel naar beneden te gaan.
=max(max(a,b),c)= \\ 0.5(0.5(a+b+\left | a-b \right |)+c+\left | 0.5(a+b+\left | a-b \right |) \right -c|))
Klopt wat je zegt. Het wordt een lange functie.
Voor 4 variabelen krijg je meer mogelijkheden; heb minimum
min(a,b,c,d)=min(min(a,b,c),d)=min(min(min(a,b),c),d) maar ook een andere. Zie je die?
Als je met veel variabelen gaat werken, kan het werken met veel verschillende letter onoverzichtelijk worden. Dan wordt ook wel gekozen voor bijv.
.
Als we ze dan van klein naar groot hebben gerangschikt, kan je ze
noemen, met bijv. 
het kleinste en 
het grootste element. Hoe je alle elementen noemt is eigen keuze.
Voor 4 variabelen:
+b_2+b_3+\text{max}(a_1+a_2+a_3+a_4))
Nu kan je dus
bepalen, maar niet 
op zich, of toch wel?
Klopt wat je zegt. Het wordt een lange functie.
Voor 4 variabelen krijg je meer mogelijkheden; heb minimum
min(a,b,c,d)=min(min(a,b,c),d)=min(min(min(a,b),c),d) maar ook een andere. Zie je die?
Als je met veel variabelen gaat werken, kan het werken met veel verschillende letter onoverzichtelijk worden. Dan wordt ook wel gekozen voor bijv.
Als we ze dan van klein naar groot hebben gerangschikt, kan je ze
Voor 4 variabelen:
Nu kan je dus
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)