Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme liggen

rishal · Bericht door **rishal** » 24 mar 2012, 02:10

Hallo forumleden,

De afgelopen avonden ben ik druk bezig geweest met het oplossen van een som, echter kom ik er niet uit. Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

De opgave luidt als volgt:

functie:
$f(x)=\frac{x+p}{x^2+4}$

Bewijs dat alle toppen van bovenstaande functie op de kromme liggen van:
$f(x)=\frac{1}{2x}$

Nu ben als volgt te werk gegaan:

Stap 1: Differentieren van de functie geeft:
$f(x)=\frac{-x^2-2px+4}{(x^2+4)^2}$

Stap 2: Extreme waarden van de functie bepalen geeft:
$f(x)=-x^2-2px+4=0$

Geeft:
$p=\frac{x^2-4}{-2x}$

Vervolgens wil ik P in de functie invoeren, dit geeft:
$f(x)=\frac{x+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Als ik bovenstaande formule invoer op de rekenmachine kom ik op het goede antwoord maar ik weet echt niet hoe ik deze met de hand kan uitrekenen en kan komen tot:
$f(x)=\frac{1}{2x}$

Ik heb echt van alles geprobeerd maar ik kom telkens op x waarden met verschillende exponenten.

Kan iemand mij wijzen in de goede richting? Alvast bedankt!

Bericht door **David** » 24 mar 2012, 11:02

Je kan schrijven:

$f(x)=\frac{x+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4} = \frac{x \cdot \frac{-2x}{-2x}+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Kan je dan verder?

Bericht door **SafeX** » 24 mar 2012, 11:49

rishal schreef: $f(x)=\frac{x+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Je doet alles goed.
Ligt het niet voor de hand om teller en noemer te vermenigvuldigen met -2x. Let wel de nadruk bij deze vraag is de aanvang ...

rishal · Bericht door **rishal** » 24 mar 2012, 13:05

Bedankt voor de reacties!

Ik heb geprobeerd om eerst de teller te vereenvoudigen door:
$f(x)=\frac{x.-2x+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Dit geeft:
$f(x)=\frac{\frac{-x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Vervolgens vermenigvuldig ik de noemer met -2x, dit geeft:
$f(x)=\frac{-x^2-4}{-2x^3-8x}$

Als ik deze splits in 2 delen krijg ik:
$f(x)=-\frac{-x^2}{-2x^3-8x}$
$f(x)=2x^-^1+\frac{1}{8}x^1$

En
$f(x)=\frac{-4}{-2x^3-8x}$
$f(x)=2x^-^3+\frac{1}{2}x^-^1$

Dit samen is:
$f(x)=2x^-^3+2\frac{1}{2}x^-^1+\frac{1}{8}x^1$

Hier kom ik niet verder omdat ik waarschijnlijk iets verkeerd doe?

Hartelijk bedankt!

Bericht door **David** » 24 mar 2012, 13:09

Als het niet voor de hand ligt je ook nog gebruiken:

b, d ongelijk aan 0.
a/b = c/d <=> ad = bc.

Je zoekt: $\frac{1}{2x} = \frac{x + \frac{x^2 - 4}{-2x}}{x^2 + 4}$
Wat moet dan ook gelden?

N.a.v. je nieuwe post:

Je kan schrijven:
$\frac{\frac{-x^2 - 4}{-2x}}{x^2+4} = \frac{-x^2 - 4}{-2x} \cdot \frac{1}{x^2+4}$
Eens?

Bericht door **SafeX** » 24 mar 2012, 14:42

Hoe kom je aan het volgende:

rishal schreef: Vervolgens vermenigvuldig ik de noemer met -2x, dit geeft:
$f(x)=\frac{-x^2-4}{-2x^3-8x}$

Als ik deze splits in 2 delen krijg ik:
$f(x)=-\frac{-x^2}{-2x^3-8x}$
$f(x)=2x^-^1+\frac{1}{8}x^1$

rishal · Bericht door **rishal** » 25 mar 2012, 14:56

@Safex
Ik was in de veronderstelling dat als je een gebroken functie hebt die niet uit 1 term bestaat, je deze kunt opdelen?

Ik loop steeds tegen die vervelende breuk aan in de teller.

@David:
Wanneer je 2 gebroken functies met elkaar wilt vermenigvuldigen; is het dan niet teller x teller en noemer x noemer?

rishal · Bericht door **rishal** » 25 mar 2012, 22:39

Oke, ben net weer verder gegaan en heb geleerd dat breuken die je vermenigvuldigt ook zijn uit te voeren door de volledige breuk keer de teller van de andere te doen, bedankt David!

Ik ga vlug verder en meld mij snel!

Hartelijk bedankt

rishal · Bericht door **rishal** » 26 mar 2012, 03:48

Ik hoop dat ik nu op het goede spoor zit, wat ik heb gedaan is het volgende:

Functie:
$f(x)=\frac{x+\frac{x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

De teller vereenvoudigt door x keer -2x te doen:
$f(x)=\frac{\frac{-x^2-4}{-2x}}{x^2+4}$

Vervolgens -2x keer de noemer te doen:
$f(x)=\frac{-x^2-4}{-2x^3-8x}$

Als ik dit uitreken met de rekenmachine kom ik op het goede antwoord, echter als ik dit met de hand uitreken dan kom ik op:
$\frac{1}{2}x^-^1+\frac{1}{2}x^-^1$
Omdat:
$\frac{-x^2}{-2x^3}=\frac{1}{2}x^-^1$
En:
$\frac{-4}{-8x}=\frac{1}{2}x^-^1$

Wat doe ik fout?

Hartelijk dank.

Bericht door **David** » 26 mar 2012, 11:12

Rishal schreef:Wanneer je 2 gebroken functies met elkaar wilt vermenigvuldigen; is het dan niet teller x teller en noemer x noemer?

Juist.

Je schreef:breuken die je vermenigvuldigt ook zijn uit te voeren door de volledige breuk keer de teller van de andere te doen, bedankt David!

Graag gedaan. Maar hoe wil je dat toepassen.

Ik zocht vervolgens naar:
$\frac{-x^2 - 4}{-2x} \cdot \frac{1}{x^2+4} = \frac{-x^2 - 4}{x^2+4} \cdot \frac{1}{-2x}$

Je schreef:Wat doe ik fout?

Je zegt iets als:
$\frac{4+6}{2+3} = \frac{4}{2} + \frac{6}{3}$
En dat klopt niet. Waarom niet?

Bericht door **SafeX** » 26 mar 2012, 11:17

rishal schreef:@Safex
Ik was in de veronderstelling dat als je een gebroken functie hebt die niet uit 1 term bestaat, je deze kunt opdelen?

?

Nu kan ik weer vragen wat je met opdelen bedoelt, maar ga voor je zelf met getallen eens na wat je eigenlijk wilt om te zien of dat klopt.

rishal · Bericht door **rishal** » 26 mar 2012, 11:31

$\frac{4+6}{2+3}=\frac{10}{5}=2$

$\frac{4}{2}+\frac{6}{3}=5$

Wat ik doe klopt dus niet zie ik nu in, ik moet dus op één of andere manier toch verder rekenen met:
$\frac{-x^2-4}{-2x^3+8x}$

Maar deze som bestaat uit 4 termen namelijk, x x^2 x^3 en een constante, is er hier een rekenregel voor? Kan ik dit nog verder vereenvoudigen?

bedankt!

Bericht door **David** » 26 mar 2012, 11:42

Je schreef: Wat ik doe klopt dus niet zie ik nu in, ik moet dus op één of andere manier toch verder rekenen met:
$\frac{-x^2-4}{-2x^3+8x}$

Kan, hoeft niet persé.

Je kan gebruiken:
$\text{Als}\; \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \;\text{dan}\; \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;\text{en vice versa}$ als je wilt.

Bericht door **SafeX** » 26 mar 2012, 12:27

rishal schreef:
Wat ik doe klopt dus niet zie ik nu in, ik moet dus op één of andere manier toch verder rekenen met:
$\frac{-x^2-4}{-2x^3+8x}$

Dit hangt af van wat je wilt ...

Wat belangrijk is:
Hoe kan je breuken veranderen zonder dat de 'waarde' verandert?
Hoe kan je een breuk vereenvoudigen?
Dit hangt met elkaar samen.

rishal · Bericht door **rishal** » 26 mar 2012, 13:04

@David,

Als ik het goed begrijp kan ik dus:
$\frac{-x^2-4}{-2x^3-8x}$

Schrijven als:
$\frac{-x^2}{-2x^3}=\frac{-4}{-8x}$

Als ik dit oplos kom ik op:
$\frac{1}{2}x^-^1=\frac{1}{2}x^-^1$

Hoe moet ik dit zien, want volgens mij komt het antwoord op x=0?

Groetjes

Wiskundeforum

Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme liggen

Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme liggen

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig

Re: Bewijs dat alle toppen van een functie op één kromme lig