Limit van een breuk

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 30
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Limit van een breuk

Bericht door henkoegema » 28 sep 2020, 15:30

Hoe bereken ik:

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}} \)

Gebruik makend van:
\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{p}}{a^{x}} = 0
(a>1))\)


(Bij het antwoord wordt als aanwijzing gegeven: Stel y=-x)
(Ik neem aan dat hiemee substitutie bedoeld wordt. I.p.v. y=-x kies ikzelf liever u=-x)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3541
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limit van een breuk

Bericht door arie » 29 sep 2020, 07:09

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \frac{0}{+\infty} = 0\)

Met substitutie \(u = -x\) (ofwel: \(x = -u\)) krijgen we

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{{2^{-u}}}{(-u)^{200}} = \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{1}{u^{200}\cdot 2^u} = \frac{1}{(+\infty) \cdot (+\infty)} = 0\)

Maar dan maken we geen gebruik van de gegeven limiet.
Is de opgave correct?

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 30
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limit van een breuk

Bericht door henkoegema » 29 sep 2020, 11:49

arie schreef:
29 sep 2020, 07:09
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \frac{0}{+\infty} = 0\)

Met substitutie \(u = -x\) (ofwel: \(x = -u\)) krijgen we

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{{2^{-u}}}{(-u)^{200}} = \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{1}{u^{200}\cdot 2^u} = \frac{1}{(+\infty) \cdot (+\infty)} = 0\)

Maar dan maken we geen gebruik van de gegeven limiet.
Is de opgave correct?
Deze uitwerking had ik ook zo (ongeveer)
De opgave komt uit het boek : BASISWISKUNDE (Jan van de Craats en Rob Bosch) (http://www.uitlegklas.nl/voorbeelden/basiswiskunde.pdf) , Opgave 18.9a, blz.148

De theorie staat op blz. 149.

Met gebruik makend van de gegeven limiet kom ik er niet uit.
De overige opgaven van 18,9 b->e leveren voor mij dezelfde problemen op.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3541
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limit van een breuk

Bericht door arie » 29 sep 2020, 17:03

Als we de breuk \(\frac{x^p}{a^x}\) bekijken met a > 1 en we laten x naar +oneindig gaan,
dan gaat de teller \(x^p\) naar +oneindig en de noemer \(a^x\) naar +oneindig.
De limiet voor x naar +oneindig van de hele breuk zou dus uitkomen op \(\frac{+\infty}{+\infty}\) en daarmee onbepaald zijn.

Maar als de teller een veelterm in x is (hier \(x^p\)) en de noemer een exponentiele functie in x (hier \(a^x\)) dan geldt deze stelling:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^p}{a^x} = 0\)

omdat (voor a>1) \(a^x\) (op den duur = voor x naar +oneindig) veel sneller stijgt dan \(x^p\) (voor welke waarde van p dan ook).

De substitutie \(u = -x\) (ofwel: \(x = -u\)) gebruiken ze alleen om de limiet in plaats van naar -oneindig naar +oneindig te laten gaan.

Het antwoord op vraag 18.9.a van hierboven:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{{2^{-u}}}{(-u)^{200}} = \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{1}{u^{200}\cdot 2^u} = \frac{1}{(+\infty) \cdot (+\infty)} = 0\)

is dus correct omdat ook alle andere regels die we voor limieten kennen blijven bestaan.

Maar als je uitkomt bij een quotient van veelterm en exponentiele functie, dan kijk je of je de stelling op pagina 149 kan gebruiken.

Lukken hiermee opgave 18.9.b t/m e nu ook?

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 30
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limit van een breuk

Bericht door henkoegema » 01 okt 2020, 15:52

arie schreef:
29 sep 2020, 17:03
................................................................................................
................................................................................................
Het antwoord op vraag 18.9.a van hierboven:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{{2^{-u}}}{(-u)^{200}} = \lim_{u\rightarrow \infty }\frac{1}{u^{200}\cdot 2^u} = \frac{1}{(+\infty) \cdot (+\infty)} = 0\)

is dus correct omdat ook alle andere regels die we voor limieten kennen blijven bestaan.

Maar als je uitkomt bij een quotient van veelterm en exponentiele functie, dan kijk je of je de stelling op pagina 149 kan gebruiken.

Lukken hiermee opgave 18.9.b t/m e nu ook?
Is \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \)
dan geen quotient van een veelterm en exponentiele functie? (maar het geldt misschien niet als die "op z'n kop staat")

Een andere vraag: Er staat in dat hoofdstuk ook:
Functies van de vorm f (x) = \(a^{x}\) voor a > 0 heten exponentiële functies.
Is \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\) dan geen exponentiële functie ?

Mvgr.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1913
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Limit van een breuk

Bericht door arno » 01 okt 2020, 18:52

henkoegema schreef:
01 okt 2020, 15:52
Een andere vraag: Er staat in dat hoofdstuk ook:
Functies van de vorm f (x) = \(a^{x}\) voor a > 0 heten exponentiële functies.
Is \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\) dan geen exponentiële functie ?

Mvgr.
Jawel, want ¼>0. Laten we de definitie eens wat helderder formuleren: Functies van de vorm f (x) = \(a^{x}\) voor 0<a<1 of a>1 heten exponentiële functies.
Je ziet dus dat a = ¼ aan de definitie voldoet, aangezien 0<¼<1. Je boek verzuimt echter om 1 uit te sluiten. Met de hier gegeven definitie is dat echter opgelost.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 30
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limit van een breuk

Bericht door henkoegema » 01 okt 2020, 19:27

arno schreef:
01 okt 2020, 18:52
henkoegema schreef:
01 okt 2020, 15:52
Een andere vraag: Er staat in dat hoofdstuk ook:
Functies van de vorm f (x) = \(a^{x}\) voor a > 0 heten exponentiële functies.
Is \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\) dan geen exponentiële functie ?

Mvgr.
Jawel, want ¼>0. Laten we de definitie eens wat helderder formuleren: Functies van de vorm f (x) = \(a^{x}\) voor 0<a<1 of a>1 heten exponentiële functies.
Je ziet dus dat a = ¼ aan de definitie voldoet, aangezien 0<¼<1. Je boek verzuimt echter om 1 uit te sluiten. Met de hier gegeven definitie is dat echter opgelost.
Je hebt gelijk Arno. Ik heb zitten slapen. Had de hele tijd in gedachten a>1. :oops:
'k zal voortaan beter opletten. :)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3541
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limit van een breuk

Bericht door arie » 01 okt 2020, 19:41

henkoegema schreef:
01 okt 2020, 15:52
Is \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{2^{x}}}{x^{200}}= \)
dan geen quotient van een veelterm en exponentiele functie? (maar het geldt misschien niet als die "op z'n kop staat")
Klopt, die breuk is het quotient van een exponentiele functie en een veelterm.
Ik bedoelde na de herleiding in een vorm waarin
de limiet van x naar +oneindig gaat, en waarbij a > 1.
In dat geval stijgt \(a^x\) veel sneller dan \(x^p\) en geldt de stelling uit het boek:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^p}{a^x}= 0 \;\;\;\;\;\;\;\text{(voor a > 1)}\)

Voor de omgekeerde breuk geldt:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{a^x}{x^p}= +\infty \;\;\;\;\;\;\;\text{(voor a > 1)}\)

(opnieuw omdat \(a^x\) veel sneller stijgt dan \(x^p\))

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3541
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limit van een breuk

Bericht door arie » 01 okt 2020, 19:51

PS:
Het lijkt me het handigst de definitie aan te houden zoals die beschreven is, dus inclusief \(f(x) = 1^x\)
Hier is f(x) dus zowel exponentiele als lineaire als constante functie.
Het boek benoemt dit ook expliciet op pagina 149.
Mocht je eigen en/of andere definities (of uitgangspunten) gaan hanteren, dan hoeven de resultaten in de rest van het boek niet meer te kloppen.

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 30
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limit van een breuk

Bericht door henkoegema » 02 okt 2020, 11:59

arie schreef:
01 okt 2020, 19:51
PS:
............................................
...........................................
Mocht je eigen en/of andere definities (of uitgangspunten) gaan hanteren, dan hoeven de resultaten in de rest van het boek niet meer te kloppen.
Dat ga ik toch maar niet doen. :D

Plaats reactie