Partiële integratie
Re: Partiële integratie
OK! Succes.
Re: Partiële integratie
Bij deze opgave is mij niet duidelijk waarom in stap 2, (1/2) buiten de integraal geplaatst wordt.
Kan iemand mij helpen?
Opgave:∫ xe^-2x dx
Uitwerking:
Stap 1= x ∫e^(-2x) dx - ∫[d/dx(x) ∫e^(-2x)dx]dx
Stap 2= - (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
Stap 3= - (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c
Stap 4= - (1/4)(2x + 1)e^(-2x) + c.
Kan iemand mij helpen?
Opgave:∫ xe^-2x dx
Uitwerking:
Stap 1= x ∫e^(-2x) dx - ∫[d/dx(x) ∫e^(-2x)dx]dx
Stap 2= - (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
Stap 3= - (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c
Stap 4= - (1/4)(2x + 1)e^(-2x) + c.
Re: Partiële integratie
Van welke regel ga je uit (zie je vorige vraag)?
Re: Partiële integratie
ʃudv=uv-ʃvdu
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x
Re: Partiële integratie
Je wilt dus ∫udv bekijken met u=x en v=e^(-2x)dx. Maar dat kan niet want dat is geen dv.
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.
Opm: ga na dat dit klopt met ∫f(x)g'(x)dx met f(x)=x en g'(x)=e^(-2x).
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.
Opm: ga na dat dit klopt met ∫f(x)g'(x)dx met f(x)=x en g'(x)=e^(-2x).
Re: Partiële integratie
[quote="SafeX"]Je wilt dus ∫udv bekijken met u=x en v=e^(-2x)dx. Maar dat kan niet want dat is geen dv.
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.
Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt met bovenstaande tekst. Bij de formule ʃudv kwam ik bij deze berekening uit:
ʃudv=uv-ʃvdu
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx
en gebruik volgens mij niet alleen u en v om ʃudv te bepalen, maar uv-ʃvdu om ʃudv te bepalen.
"Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen."
Dit kon ik niet helemaal volgen
Verder kwam ik met f(x)g(x)-ʃg(x)f'(x)dx tot de volgende berekening, waarbij
f(x)=x g'(x)=e^(-2x)
f'(x)=dx g(x)=-1/2e^(-2x)
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx
Bij het definieren van de waarden bij beide formules (ʃudv=uv-ʃvdu als ʃudv=uv-ʃvdu) kom ik bij dezelfde waarden uit. Ben ik op de goede weg?
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.
Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt met bovenstaande tekst. Bij de formule ʃudv kwam ik bij deze berekening uit:
ʃudv=uv-ʃvdu
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx
en gebruik volgens mij niet alleen u en v om ʃudv te bepalen, maar uv-ʃvdu om ʃudv te bepalen.
"Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen."
Dit kon ik niet helemaal volgen
Verder kwam ik met f(x)g(x)-ʃg(x)f'(x)dx tot de volgende berekening, waarbij
f(x)=x g'(x)=e^(-2x)
f'(x)=dx g(x)=-1/2e^(-2x)
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx
Bij het definieren van de waarden bij beide formules (ʃudv=uv-ʃvdu als ʃudv=uv-ʃvdu) kom ik bij dezelfde waarden uit. Ben ik op de goede weg?
Re: Partiële integratie
Nu doe je 't goed.
Je hebt nu dv= e^(-2x)dx gesteld (zie je vorige tekst) en zo kom je ook tot de factor -1/2 (hetgeen ik aangaf) ipv 1/2 (zie je eigen tekst).
Overigens zie ik nu wel dv=... staan.
Immers een constante factor mag je toch als factor voor het integraalteken zetten?
Je kan dit nu verder afmaken, niet?
Je hebt nu dv= e^(-2x)dx gesteld (zie je vorige tekst) en zo kom je ook tot de factor -1/2 (hetgeen ik aangaf) ipv 1/2 (zie je eigen tekst).
Overigens zie ik nu wel dv=... staan.
Immers een constante factor mag je toch als factor voor het integraalteken zetten?
Je kan dit nu verder afmaken, niet?
Re: Partiële integratie
Kun je aangeven waarom de constante factor, in dit geval 1/2 buiten de integraal gezet mag worden?
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Partiële integratie
Er geldt dat .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Partiële integratie
De constante factor is -1/2!
Dit is een eigenschap van de integraal:
Daar moet je toch bekend mee zijn!?!
Dit is een eigenschap van de integraal:
Daar moet je toch bekend mee zijn!?!
Re: Partiële integratie
Nu herinner ik me de eigenschap van de integraal weer.
Dit zou dan de verdere uitwerking moeten zijn
- (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
- (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c
Dit zou dan de verdere uitwerking moeten zijn
- (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
- (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c
Re: Partiële integratie
Lijkt me goed.
Re: Partiële integratie
Bedankt
Re: Partiële integratie
OK! Succes.
Re: Partiële integratie
Ik heb ook een probleempje met een oefening op partiële integratie:
∫BgSin(ax)dx
Wij gebruiken ook deze formule: ∫u dv = uv-∫vdu
Dus:
BgSin(ax) = u
Dx = dv
x = v
Dan krijg je: BgSin(ax).x - ∫ D(BgSin(ax)) . x
= BgSin(ax).x - ∫ (1/*wortel* 1-ax²) . 1/a . x . dx
Die 1/a kun je nog voor de integraal brengen, maar hoe dan verder?
Door die x daar kun je er geen basisintegraal van maken, ofwel?
Ik zit alleszinds vast...
Dank bij voorbaat.
∫BgSin(ax)dx
Wij gebruiken ook deze formule: ∫u dv = uv-∫vdu
Dus:
BgSin(ax) = u
Dx = dv
x = v
Dan krijg je: BgSin(ax).x - ∫ D(BgSin(ax)) . x
= BgSin(ax).x - ∫ (1/*wortel* 1-ax²) . 1/a . x . dx
Die 1/a kun je nog voor de integraal brengen, maar hoe dan verder?
Door die x daar kun je er geen basisintegraal van maken, ofwel?
Ik zit alleszinds vast...
Dank bij voorbaat.