ellips en raaklijn

[SafeX]

Allereerst, laat zien dat de raaklijn in (x1,y1) aan de ellips te schrijven is als:

Wat is de betekenis van deze lijn als (x1,y1) niet op de ellips ligt?
Elk punt (x,y) op deze lijn ligt dan buiten de ellips. Kies een punt (xp,yp) op deze lijn dan zal gelden:

dus deze lijn bevat (x1,y1) en er geldt:

Omdat het punt (xp,yp) buiten de ellips ligt , is er nog een raaklijn aan de ellips door (xp,yp) mogelijk.
Er is dan een punt (x2,y2) op de ellips waarvan de raaklijn door (xp,yp) gaat:

Het punt (xp,yp) ligt op deze lijn, maar dat betekent dat de lijn:
twee punten bevat (x1,y1) en (x2,y2).
Een lijn is bepaald door twee punten, maw de lijn:

gaat door de raakpunten (x1,y1) en (x2,y2) van de raaklijnen door (xp,yp) aan de ellips.
Ga na dat dit klopt aan de hand van ons voorbeeld.
Door de relatie van het punt (xp,yp) en de lijn:

noemen we het punt de pool en de lijn de poollijn.
Kortom: het punt (xp,yp) en de lijn:

zijn pool en poollijn tov de ellips:

Dit geldt voor (xp,yp) buiten de ellips.
Op de ellips is de pool een punt van de poollijn.
Vraag: wat is er aan de hand als (xp,yp) binnen de ellips ligt. Merk op dat de vergelijking dezelfde blijft. Anders gezegd: aan de vergelijking kan je niet zien of het punt (xp,yp) buiten, op of binnen de cirkel ligt.

[idefix]

Je eerste vraag: laat zien dat de raaklijn in (x1,y1) aan de ellips te schrijven is als:



Hier gaan we: als we via de afgeleide van de formule voor de ellips de rc vinden aan de ellips in (x1,y1), kunnen we de vgl voor de raaklijn schrijven als




Omdat

volgt:


(wordt vervolgd...)

[SafeX]

Prima!

[idefix]

Uw volgende vraag:

Wat is de betekenis van deze lijn als (x1,y1) niet op de ellips ligt?

U bedoelt als we een andere (x1, y1) nemen? Voor het rekengemak neem ik x1 = a², y1= b². Dit ligt zeker niet op de ellips want
(de vgl. van de ellips gaat niet op)

De vgl van de lijn wordt dan met deze x1 en y1

of x + y = 1

Dan zegt u:

Elk punt (x,y) op deze lijn ligt dan buiten de ellips.

Dit klopt niet in het geval van de lijn x+y = 1. Deze heeft namelijk 2 snijpunten met de ellips als a = 5 en als b = 4 (de ellips uit de oorspronkelijke opgave)

Heb ik iets mis begrepen?

[SafeX]

Uw volgende vraag:

Wat is de betekenis van deze lijn als (x1,y1) niet op de ellips ligt?

U bedoelt als we een andere (x1, y1) nemen? Voor het rekengemak neem ik x1 = a², y1= b². Dit ligt zeker niet op de ellips want
(de vgl. van de ellips gaat niet op)

Ik merk dat dit verwarring geeft.
De bedoeling is we bekijken de lijn:

met (x1, y1) niet op de ellips.
Dit is verwarrend want daarvoor neem ik (xp,yp) op de raaklijn door (x1,y1).
Goed dat je dit hebt gezien!

Dus: (x1,y1) en (x2,y2) zijn punten van de ellips en (xp,yp) een punt daarbuiten op de lijn:

[idefix]

Hallo SafeX,
sorry, maar nu ben ik verward: je schrijft enerzijds:

we bekijken de lijn:

met (x1, y1) niet op de ellips.

en anderzijds:

(x1,y1) en (x2,y2) zijn punten van de ellips

[SafeX]

Dit is verwarrend, dus in plaats daarvan neem ik (xp,yp) op de raaklijn door (x1,y1).
Goed dat je dit hebt gezien!

Dus: (x1,y1) en (x2,y2) zijn punten van de ellips en (xp,yp) een punt daarbuiten op de lijn:

[idefix]

de lijn:

gaat door de raakpunten (x1,y1) en (x2,y2) van de raaklijnen door (xp,yp) aan de ellips.
Ga na dat dit klopt aan de hand van ons voorbeeld.

Als ik x = 4, neem, dan voldoet y=12/5 aan de vergelijking van de ellips, dus (4, 12/5) ligt op de ellips

De vergelijking van de raaklijn aan deze ellips door (4, 12/5) luidt:

of

Ik heb nog eens een schets gemaakt, dat laat me toe een "slimme" keuze te maken voor xp en yp.
Ik neem xp = 5/2, dan krijgen we yp = 4
Dit punt heeft een raaklijn aan de ellips in (0, 4) = (x2, y2).
met xp=5/2 en yp = 4 geeft

deze vgl gaat inderdaad op voor (x1,y1) en (x2, y2). Dus de lijn met deze vgl. gaat door de punten (x1,y1) en (x2, y2).
Tot zover kan ik alles volgen:
Het punt (5/2, 4) is een pool van de gegeven ellips met als poollijn


Maar uw volgende vraag

wat is er aan de hand als (xp,yp) binnen de ellips ligt.

brengt mij in de problemen: aangezien (x1, y1) een raakpunt is aan de ellips, kan de raaklijn door dit punt geen ander punt gemeenschappelijk hebben met de ellips. Er kan dus geen punt op deze rechte binnen de ellips liggen.

[SafeX]

Mooi, dus de poollijn:

van de pool (xp,yp) tov de ellips

bevat de raakptn (x1,y1) en (x2,y2) van de raaklijnen door de pool (xp,yp) aan de ellips.
Het moet nu duidelijk zijn dat een pool P(xp,yp) binnen de ellips een lijn:

geeft die buiten de ellips valt.
Teken nu (willekeurig) een lijn l door (xp,yp) dan zal deze de ellips in twee ptn snijden. Deze twee ptn hebben ieder een raaklijn aan de ellips. Het snijpunt van deze raaklijnen is de pool L(xl,yl) van de tekende lijn l tov de ellips. Dan zal L op de poollijn van P liggen, waarom?
Houd goed voor ogen: P binnen en L buiten de ellips.
Maw elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden.

Gebruik nu dit begrip voor het geval (0,k) met k>4 op de y-as in ons vb.

[idefix]

Het moet nu duidelijk zijn dat een pool P(xp,yp) binnen de ellips een lijn geeft die buiten de ellips valt.

Dat is mij op zich niet duidelijk, maar als ik bijvoorbeeld het punt P=(1,1) neem, dan zie ik dat deze de x-as snijdt in (25,0) en de y-as in (0,16). Deze lijn loopt dus "ver" boven de ellips schuin naar beneden.
Als ik een willekeurige lijn l trek door (1,1), dan zie ik op de schets dat de raaklijnen in de snijpunten van de ellips en l elkaar snijden in een punt L dat op de poollijn van P ligt.

(Terzijde: ik veronderstel dat je door (1,1) ook een zodanige lijn l kunt trekken zodat de raaklijnen in de snijpunten van de ellips en l parallel lopen met de poollijn van P.)

Dan zal L op de poollijn van P liggen, waarom?

Geen idee, maar uw volgende zin kan daarbij helpen, als ik ze begrijp:

Maw elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden.

Er is echter iets mis met deze zin, want "een poollijn" is enkelvoud en kan dus niet "elkaar snijden".

Sorry, maar ik balanceer op de dunne lijn tussen wel-begrijpen en niet-begrijpen. Daarom moet dit eenduidig en ondubbelzinnig zijn voor me.

[SafeX]

Het moet nu duidelijk zijn dat een pool P(xp,yp) binnen de ellips een lijn geeft die buiten de ellips valt.

Dat is mij op zich niet duidelijk

Stel de lijn snijdt de ellips, dan heb ik twee raaklijnen aan de ellips met een snijpunt (pool) buiten de ellips, Dit is strijdig met de pool ligt binnen de ellips.

Dan zal L op de poollijn van P liggen, waarom?

Geen idee, maar uw volgende zin kan daarbij helpen, als ik ze begrijp:

Maw elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden.

Er is echter iets mis met deze zin, want "een poollijn" is enkelvoud en kan dus niet "elkaar snijden".

Elk punt van l ...
hoeveel poollijnen heb ik dan? Neem er twee, dan zullen die elkaar in P snijden.

[idefix]

Elk punt van l ...
hoeveel poollijnen heb ik dan? Neem er twee, dan zullen die elkaar in P snijden.

l is een rechte, en een rechte heeft oneindig veel punten. Dus dan heb je oneindig veel poollijnen.
Ik ga verder met het punt P(1,1). Als we door dit punt een lijn l trekken die evenwijdig is met de x-as (dus met vgl y=1), dan zien we op een schets dat de raaklijnen aan de ellips in de snijpunten met l elkaar kruisen in een punt L(xl, yl) dat ligt op de poollijn van P: y = 16 - 16/25x.
Als we nu op l twee punten nemen, zeg (-3, 1) en (2,1) dan kruisen hun poollijnen elkaar in het punt (0, 16), wat niet binnen de ellips ligt:

De poollijn van (-3,1) loopt door (0,16) en door (1, 448/25) (de vgl is y= 16 + 48/25x)
De poollijn van (2, 1) loopt door (0,16) en door (1, 368/25) (de vgl is y= 16 - 32/25x)

[SafeX]

Een opm: lijnen snijden elkaar, kruisen elkaar is een ander wiskundig begrip (R3).

Kan je de redenering nu goed volgen en begrijpen.
Pas dit dan nu toe zoals ik eerde aangaf:

Gebruik nu dit begrip voor het geval (0,k) met k>4 op de y-as in ons vb.

[idefix]

Kan je de redenering nu goed volgen en begrijpen.

Neen, want u zegt:

elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnende ellips in P zullen snijden.

en ik heb een voorbeeld gegeven waarbij 2 punten op l een poollijn hebben die elkaar buiten de ellips snijden.
Namelijk de lijn l: y = 1
En daarop de punten (2, 1) en (-3,1): deze snijden elkaar buiten de ellips.
Dit is toch in tegenspraak met uw uispraak "poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden"?

Ik vrees dat we elkaar ergens niet goed begrijpen of dat ik u tenminste ergens verkeerd begrijp.

Gebruik nu dit begrip voor het geval (0,k) met k>4 op de y-as in ons vb.

Bedoelt u: gebruik (0, k) als pool?

[SafeX]

Gebruik nu dit begrip voor het geval (0,k) met k>4 op de y-as in ons vb.

Bedoelt u: gebruik (0, k) als pool?

Ja, dat is de bedoeling.

Wat je andere vragen betreft:
1. Is het zo, dat een pool buiten de ellips een poollijn heeft die de ellips snijdt?
2. idem, dat een pool op de ellips een raaklijn door de pool aan de ellips als poollijn heeft?
3. idem, dat een pool binnen de ellips een poollijn buiten de ellips heeft.

Ik zie nl jouw plaatje niet en heb die tekening niet zelf gemaakt.