ellips en raaklijn

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 09 nov 2010, 13:38

SafeX schreef: Wat je andere vragen betreft:
1. Is het zo, dat een pool buiten de ellips een poollijn heeft die de ellips snijdt?
2. idem, dat een pool op de ellips een raaklijn door de pool aan de ellips als poollijn heeft?
3. idem, dat een pool binnen de ellips een poollijn buiten de ellips heeft.

Ik zie nl jouw plaatje niet en heb die tekening niet zelf gemaakt.
Vraag 1: ja, een pool buiten de ellips heeft een poollijn die de ellips snijdt.
Vraag 2: ja
Vraag 3: ook ja.

Een tekening hoef je niet te maken. de punten zijn zo gekozen dat je onmiddellijk ziet hoe de poollijnen lopen:

We nemen punt P(1,1). We trekken in gedachten door dit punt een lijn l trekken die evenwijdig is met de x-as (dus met vgl y=1).
Als we nu op l twee punten nemen, zeg (-3, 1) en (2,1) dan snijden hun poollijnen elkaar in het punt (0, 16), wat niet binnen de ellips ligt:

De poollijn van (-3,1) loopt door (0,16) en door (1, 448/25) (de vgl is y= 16 + 48/25x)
De poollijn van (2, 1) loopt door (0,16) en door (1, 368/25) (de vgl is y= 16 - 32/25x)

U hoeft geen schets te hebben om te zien dat ze elkaar snijden ver boven de ellips, namelijk in het punt (0, 16). Dit punt ligt buiten de ellips aangezien de ellips (0, 4) als hoogste punt heeft.

Dit klopt toch niet met uw stelling dat "elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden."?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 09 nov 2010, 13:55

idefix schreef: Een tekening hoef je niet te maken. de punten zijn zo gekozen dat je onmiddellijk ziet hoe de poollijnen lopen:

We nemen punt P(1,1). We trekken in gedachten door dit punt een lijn l trekken die evenwijdig is met de x-as (dus met vgl y=1).
Wat is de pool van deze lijn y=1?
Een pool buiten de ellips heeft een poollijn die ... ?
idefix schreef:Als we nu op l twee punten nemen, zeg (-3, 1) en (2,1) dan snijden hun poollijnen elkaar in het punt (0, 16), wat niet binnen de ellips ligt:

De poollijn van (-3,1) loopt door (0,16) en door (1, 448/25) (de vgl is y= 16 + 48/25x)
De poollijn van (2, 1) loopt door (0,16) en door (1, 368/25) (de vgl is y= 16 - 32/25x)

U hoeft geen schets te hebben om te zien dat ze elkaar snijden ver boven de ellips, namelijk in het punt (0, 16). Dit punt ligt buiten de ellips aangezien de ellips (0, 4) als hoogste punt heeft.

Dit klopt toch niet met uw stelling dat "elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden."?
Elk punt (als pool) van l heeft een poollijn door (0,16), omdat (zie boven) ...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 09 nov 2010, 14:18

SafeX schreef:Maw elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden.
Dit klopt (inderdaad) niet!
Het moet zijn:
Elk punt P (als pool) van l heeft een poollijn p tov de ellips die L (buiten de ellips) bevat.
Ook elke lijn p door L (als pool) heeft een pool P tov de ellips die op de poollijn l van L ligt.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 09 nov 2010, 14:33

SafeX schreef:
SafeX schreef:Maw elk punt van l heeft een poollijn die elkaar binnen de ellips in P zullen snijden.
Dit klopt (inderdaad) niet!
Het moet zijn:
Elk punt P (als pool) van l heeft een poollijn p tov de ellips die L (buiten de ellips) bevat.
Ook elke lijn p door L (als pool) heeft een pool P tov de ellips die op de poollijn l van L ligt.
Aha! Nu snap ik het. Ik las "elk punt van l" als "elk punt dat op l ligt".
Maar helaas moet ik nu weg tot morgenavond :( Maar dan ga ik aan de slag.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 10 nov 2010, 13:21

Ik heb de tekst (zat 6 nov 2010 9.34 pm) nog eens doorgenomen.
En de verwarring ontstaat door de vraag:
Allereerst, laat zien dat de raaklijn in (x1,y1) aan de ellips te schrijven is als:

Wat is de betekenis van deze lijn als (x1,y1) niet op de ellips ligt?
Antwoord: dan voldoet de tweede betrekking niet.

Vraag: wat is de betekenis van deze lijn als dat punt buiten de ellips ligt?
Antwoord: Ga uit van een punt P(xp,yp) op de raaklijn door het raakpunt (x1,y1) aan de cirkel.
Kies een punt (xp,yp) op deze raaklijn (en daarmee buiten de ellips) en bekijken:

dus deze lijn bevat (x1,y1) en er geldt:

Omdat het punt (xp,yp) buiten de ellips ligt , is er nog een raaklijn aan de ellips door (xp,yp) mogelijk.
Er is dan een punt (x2,y2) op de ellips waarvan de raaklijn door (xp,yp) gaat:

Het punt (xp,yp) ligt op deze lijn, maar dat betekent dat de lijn:
twee punten bevat (x1,y1) en (x2,y2).
Een lijn is bepaald door twee punten, maw de lijn:

gaat door de raakpunten (x1,y1) en (x2,y2) van de raaklijnen door (xp,yp) aan de ellips.
Ga na dat dit klopt aan de hand van ons voorbeeld.
Door de relatie van het punt (xp,yp) en de lijn:

noemen we het punt de pool en de lijn de poollijn.
Kortom: het punt (xp,yp) en de lijn:

zijn pool en poollijn tov de ellips:

Dit geldt voor (xp,yp) buiten de ellips.
Op de ellips is de pool een punt van de poollijn.
Vraag: wat is er aan de hand als (xp,yp) binnen de ellips ligt. Merk op dat de vergelijking dezelfde blijft. Anders gezegd: aan de vergelijking kan je niet zien of het punt (xp,yp) buiten, op of binnen de cirkel ligt.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 19:09

SafeX schreef:maw de lijn:

gaat door de raakpunten (x1,y1) en (x2,y2) van de raaklijnen door (xp,yp) aan de ellips.
Ga na dat dit klopt aan de hand van ons voorbeeld.
Als ik x = 4, neem, dan voldoet y=12/5 aan de vergelijking van de ellips, dus (4, 12/5) ligt op de ellips

De vergelijking van de raaklijn aan deze ellips door (x1, y1) = (4, 12/5) luidt dan:

of

Ik neem een punt(xp, yp) dat op deze raaklijn ligt maar dat verschilt van (4, 12/5).
Ik neem xp = 5/2, dan krijgen we yp = 4
Dit punt heeft een raaklijn aan de ellips in (0, 4) = (x2, y2).
met xp=5/2 en yp = 4 geeft

deze vgl gaat inderdaad op voor (x1,y1) en (x2, y2). Dus de lijn met deze vgl. gaat door de punten (x1,y1) en (x2, y2).
Het punt (5/2, 4) is een pool van de gegeven ellips met als poollijn


Ik ga nu eenvoorbeeld uitwerken met (xp, yp) binnen de ellips.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 19:36

SafeX schreef: Vraag: wat is er aan de hand als (xp,yp) binnen de ellips ligt. Merk op dat de vergelijking dezelfde blijft. Anders gezegd: aan de vergelijking kan je niet zien of het punt (xp,yp) buiten, op of binnen de cirkel ligt.
Als (xp,yp) binnen de ellips ligt, ligt de poollijn buiten de ellips. Bvn (xp, yp) = (1,1) geeft een poollijn y = 16 - 16/25x.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 10 nov 2010, 20:07

Ok, en als je nu een punt Q op deze lijn kiest, gaat dan de poollijn q van Q door het punt (1,1)?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 20:39

Ja, in elk geval geldt dit voor de punten (0,16) en (25, 0). Maar u zal me nu wellicht vragen om aan te tonen dat dit voor alle punten op de lijn geldt. Ik ben al aan het denken...

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 21:22

Verdorie, ik kan het niet in het algemeen aantonen, maar bvb als x = 5 dan y = 64/5, dus (5, 64/5) ligt op de lijn y = 16 -16/25 x

Bovendien ligt (1, 1) op

5/25x + ((64/5)/16)y = 1 wat equivalent is met
1/5x + 4/5y = 1

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 10 nov 2010, 21:28

Stel y=16t en bereken de bijbehorende x op de lijn x/25+y/16=1. Wat betekent dit voor alle reële t?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 21:48

SafeX schreef:Stel y=16t en bereken de bijbehorende x op de lijn x/25+y/16=1. Wat betekent dit voor alle reële t?
Als y = 16t dan x/25 + t = 1
Dus: x = 25 - 25t

Dit betekent voor
0 < t < 1: 0 < x < 25
t = 1: x = 0
t > 1: x < 0
t < 0: x > 25

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 10 nov 2010, 22:10

idefix schreef:
SafeX schreef:Stel y=16t en bereken de bijbehorende x op de lijn x/25+y/16=1. Wat betekent dit voor alle reële t?
Als y = 16t dan x/25 + t = 1
Dus: x = 25 - 25t
Dit betekent dat voor alle reële t dit punt (25(1-t),16t) op die lijn ligt. Ga dat na.
Wat is de poollijn van dit punt (dus alle poollijnen van alle punten op die lijn)?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 10 nov 2010, 22:40

de poollijnen van alle punten op die lijn hebben deze vgl:

(1-t)x + t = 1
x = (1-t)/(1-t) = 1 voor elke t

evenzo:

x-tx = 1 - t
x - 1 = -t + tx
t = (x-1)/(x-1) = 1

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 10 nov 2010, 22:55

idefix schreef:de poollijnen van alle punten op die lijn hebben deze vgl:

(1-t)x + t = 1
Dit moet zijn: (1-t)x + ty = 1
En wat zien we als we het punt (1,1) nemen?
Conclusie?

Plaats reactie