Wiskundeforum

Hoe los ik deze vergelijking op?



Bij deze lukt het wel.







Maar bij die eerste moet er nog een stap bij, omdat het anders niet klopt.




Bij de 2e maakte dat geen verschil, maar bij de 1e wel.
Hoe los ik dit op?

Merk op dat x = 4 een oplossing is omdat 30·4 = 120 = 10 mod 11. Ga na dat de oplossingen van
30x = 10 mod 11 gegeven worden door x = 4 mod 11.

Ja, de oplossing had ik idd al, maar hoe los je dat algebraïsch op?

Wiskunde schreef:Ja, de oplossing had ik idd al, maar hoe los je dat algebraïsch op?

Wat je zou kunnen doen is kijken wat je krijgt als je x = 4+p stelt om zo behalve x = 4 ook de andere oplossingen te vinden. Je krijgt dan: 30(4+p) = 120 + 30p = 10 mod 11. Nu geldt: 120 = 10 mod 11,
dus 120 + 30p = (10 + 30p) mod 11 = 10 mod 11, dus 30p = 0 mod 11, dus p = 0 mod 11. Dit betekent dat
x = (4+0) mod 11 = 4 mod 11 de algemene oplossing is van 30x = 10 mod 11.

ALTERNATIEF:

Merk op dat ggd(30,11)=1, dan geldt volgens de stelling van Euler
(zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Euler):



Vermenigvuldig dan linker en rechter lid in je op te lossen vergelijking met 30^9:





gebruik hier de stelling van Euler:



en werk het rechter lid uit:






NOOT: Omdat 11 priem is had je ook gebruik mogen maken van de kleine stelling van Fermat
(zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Kleine_stelling_van_Fermat):



De stelling van Euler is een generalisatie hiervan: als p priem is, dan is