Oplossing bij een formule

[bhaalspawn]

Beste leden,

Momenteel wiskunde voor Dummies aan het doornemen. Nu loop ik vast bij de volgende formule:

5x[x + 3(x[2] - 3)] + 1 = 0 Die [2] betekent in het kwadraat kan geen superscript gebruiken.

Hoe kan ik uitrekenen welke waarde X heeft om 0 te krijgen?

Tusssen haakjes moet eerst. Maar hoe pak ik zoiets aan? Als ik X door waardes vervang kijg ik bij:

0 = 1
1 = -24
2 = 51

X moet dus volgens mij tussen 0 en 1 liggen.
Bij

0,1 = -3,4
0,05 = -1

Volgens mij moet ik de formule vereenvoudigen. De haakjes dus wegwerken. Maar dit weet ik niet zeker. Kan iemand mij uitleggen welke stappen ik moet doorlopen om 0 te vinden bij een waarde X?

Alvast bedankt!

[arie]

Eerst de haken wegwerken is een goed idee.
Je krijgt dan (het dakje-symbool ^ betekent 'tot de macht'):
5x[x + 3x^2 - 9] + 1 = 0
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
Dit is een 3e-graadsvergelijking, en die hebben 1, 2 of 3 reele oplossingen.
Soms zie je hierin een factor (x-b) of (ax-b) die je buiten haakjes kan halen. Zo niet (zoals hier), dan wordt het oplossen lastiger, zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraadsvergelijking.
Ik vermoed echter dat ze er in je boek niet zo diep op ingaan.
Als ik jouw vergelijking numeriek oplos kom ik uit op de volgende 3 oplossingen voor x:
x1 ~= -1.9166838308653
x2 ~= 0.02228107001452
x3 ~= 1.56106942751745
Kom je hiermee verder?

[Wiskunde]

Ik vermoed echter dat ze er in je boek niet zo diep op ingaan.

Waarschijnlijk wel, want bij de exacte oplossing moet er gebruik worden gemaakt van imaginaire getallen.
En dan is deze toch iets makkelijker.

[arie]

Ga dan naar de formule van Cardano:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Cardano

Je wilt oplossen:
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
ofwel (volgens de tweede vergelijking op deze pagina):
x^3 + (1/3)x^2 -3x + 1/15 = 0
met:
a = 1/3
b = -3
c = 1/15

Dan is
p = b - (1/3)a^2 = -82/27 = -3.037037037037...
q = -1468/3645 = -0.40274348422...
Nu kan je x berekenen:
de eerste derdemachtswortel levert bij benadering:
w1 = 0.836090269314 + 0.559730953736i
en de tweede:
w2 = 0.836090269314 - 0.559730953736i
waarbij
x = -(1/3)a + w1 + w2 = -1/9 + 2*0.836090269314 = 1.561069427517
Inderdaad een oplossing de we al gevonden hadden.

De andere 2 oplossingen vind je door:

(1) OFWEL:
w1 120 resp 240 graden te draaien in het complexe vlak:
herleid w naar poolcoordinaten:
r = 1.006153904237
theta = 33.800818791170 graden
dan geldt:
w' = (1.006153904237; 153.800818791170 graden)
w'' = (1.006153904237; 273.800818791170 graden)
Uit deze twee, samen met hun complex geconjugeerden, vinden we (zoals verwacht):

x2 = -1/9 + 2*Re(w') = -1/9 + 2*(-0.902786359877093) = -1.916683830865297

x3 = -1/9 + 2*Re(w'') = -1/9 + 2*0.06669609056281438 = 0.02228107001451765

(2) OFWEL:
je oorspronkelijke derdegraadsvergelijking te delen door (x - 1.561069427517).
er blijft dan een 2e graads vergelijking over die je met de abc formule kan oplossen.