Beste leden,
Momenteel wiskunde voor Dummies aan het doornemen. Nu loop ik vast bij de volgende formule:
5x[x + 3(x[2] - 3)] + 1 = 0 Die [2] betekent in het kwadraat kan geen superscript gebruiken.
Hoe kan ik uitrekenen welke waarde X heeft om 0 te krijgen?
Tusssen haakjes moet eerst. Maar hoe pak ik zoiets aan? Als ik X door waardes vervang kijg ik bij:
0 = 1
1 = -24
2 = 51
X moet dus volgens mij tussen 0 en 1 liggen.
Bij
0,1 = -3,4
0,05 = -1
Volgens mij moet ik de formule vereenvoudigen. De haakjes dus wegwerken. Maar dit weet ik niet zeker. Kan iemand mij uitleggen welke stappen ik moet doorlopen om 0 te vinden bij een waarde X?
Alvast bedankt!
Oplossing bij een formule
-
- Nieuw lid
- Berichten: 1
- Lid geworden op: 05 apr 2009, 22:51
Re: Oplossing bij een formule
Eerst de haken wegwerken is een goed idee.
Je krijgt dan (het dakje-symbool ^ betekent 'tot de macht'):
5x[x + 3x^2 - 9] + 1 = 0
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
Dit is een 3e-graadsvergelijking, en die hebben 1, 2 of 3 reele oplossingen.
Soms zie je hierin een factor (x-b) of (ax-b) die je buiten haakjes kan halen. Zo niet (zoals hier), dan wordt het oplossen lastiger, zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraadsvergelijking.
Ik vermoed echter dat ze er in je boek niet zo diep op ingaan.
Als ik jouw vergelijking numeriek oplos kom ik uit op de volgende 3 oplossingen voor x:
x1 ~= -1.9166838308653
x2 ~= 0.02228107001452
x3 ~= 1.56106942751745
Kom je hiermee verder?
Je krijgt dan (het dakje-symbool ^ betekent 'tot de macht'):
5x[x + 3x^2 - 9] + 1 = 0
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
Dit is een 3e-graadsvergelijking, en die hebben 1, 2 of 3 reele oplossingen.
Soms zie je hierin een factor (x-b) of (ax-b) die je buiten haakjes kan halen. Zo niet (zoals hier), dan wordt het oplossen lastiger, zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraadsvergelijking.
Ik vermoed echter dat ze er in je boek niet zo diep op ingaan.
Als ik jouw vergelijking numeriek oplos kom ik uit op de volgende 3 oplossingen voor x:
x1 ~= -1.9166838308653
x2 ~= 0.02228107001452
x3 ~= 1.56106942751745
Kom je hiermee verder?
Re: Oplossing bij een formule
Waarschijnlijk wel, want bij de exacte oplossing moet er gebruik worden gemaakt van imaginaire getallen.arie schreef:Ik vermoed echter dat ze er in je boek niet zo diep op ingaan.
En dan is deze toch iets makkelijker.
Re: Oplossing bij een formule
Ga dan naar de formule van Cardano:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Cardano
Je wilt oplossen:
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
ofwel (volgens de tweede vergelijking op deze pagina):
x^3 + (1/3)x^2 -3x + 1/15 = 0
met:
a = 1/3
b = -3
c = 1/15
Dan is
p = b - (1/3)a^2 = -82/27 = -3.037037037037...
q = -1468/3645 = -0.40274348422...
Nu kan je x berekenen:
de eerste derdemachtswortel levert bij benadering:
w1 = 0.836090269314 + 0.559730953736i
en de tweede:
w2 = 0.836090269314 - 0.559730953736i
waarbij
x = -(1/3)a + w1 + w2 = -1/9 + 2*0.836090269314 = 1.561069427517
Inderdaad een oplossing de we al gevonden hadden.
De andere 2 oplossingen vind je door:
(1) OFWEL:
w1 120 resp 240 graden te draaien in het complexe vlak:
herleid w naar poolcoordinaten:
r = 1.006153904237
theta = 33.800818791170 graden
dan geldt:
w' = (1.006153904237; 153.800818791170 graden)
w'' = (1.006153904237; 273.800818791170 graden)
Uit deze twee, samen met hun complex geconjugeerden, vinden we (zoals verwacht):
x2 = -1/9 + 2*Re(w') = -1/9 + 2*(-0.902786359877093) = -1.916683830865297
x3 = -1/9 + 2*Re(w'') = -1/9 + 2*0.06669609056281438 = 0.02228107001451765
(2) OFWEL:
je oorspronkelijke derdegraadsvergelijking te delen door (x - 1.561069427517).
er blijft dan een 2e graads vergelijking over die je met de abc formule kan oplossen.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Cardano
Je wilt oplossen:
15x^3 + 5x^2 - 45x + 1 = 0
ofwel (volgens de tweede vergelijking op deze pagina):
x^3 + (1/3)x^2 -3x + 1/15 = 0
met:
a = 1/3
b = -3
c = 1/15
Dan is
p = b - (1/3)a^2 = -82/27 = -3.037037037037...
q = -1468/3645 = -0.40274348422...
Nu kan je x berekenen:
de eerste derdemachtswortel levert bij benadering:
w1 = 0.836090269314 + 0.559730953736i
en de tweede:
w2 = 0.836090269314 - 0.559730953736i
waarbij
x = -(1/3)a + w1 + w2 = -1/9 + 2*0.836090269314 = 1.561069427517
Inderdaad een oplossing de we al gevonden hadden.
De andere 2 oplossingen vind je door:
(1) OFWEL:
w1 120 resp 240 graden te draaien in het complexe vlak:
herleid w naar poolcoordinaten:
r = 1.006153904237
theta = 33.800818791170 graden
dan geldt:
w' = (1.006153904237; 153.800818791170 graden)
w'' = (1.006153904237; 273.800818791170 graden)
Uit deze twee, samen met hun complex geconjugeerden, vinden we (zoals verwacht):
x2 = -1/9 + 2*Re(w') = -1/9 + 2*(-0.902786359877093) = -1.916683830865297
x3 = -1/9 + 2*Re(w'') = -1/9 + 2*0.06669609056281438 = 0.02228107001451765
(2) OFWEL:
je oorspronkelijke derdegraadsvergelijking te delen door (x - 1.561069427517).
er blijft dan een 2e graads vergelijking over die je met de abc formule kan oplossen.