ik moet een directe formule opstellen van een situatie. de situatie is misschien voor mensen wel herkenbaar het lijkt op 1 tegen 100. alleen wat makkelijker dus 1 tegen 50.
per vraag word er 50.000 euro eerlijk verdeeld over de tegen standers in het publiek. geeft de tegen speler het foute antwoord dan krijgt de kandidaat dit bedrag. bijv. er zijn nog 20 mensen over 50.000 : 20 = 2500 als dan 4 mensen het foute antwoord hebben gegeven krijgt de kandidaat 4x2500=10000 euro er bij.
de kandidaat kan het meeste geld verdienen door 1 voor 1 alle spelers weg te spelen. dit is precies de situatie waar ik een directe formule van moet opstellen. we hebben een recursieve formule deze luid: u(n-1)+50.000/(50-n) met u0 = 1000. ik hoop dat iemand mij kan helpen met een directe formule hier van.
1 tegen 50
Re: 1 tegen 50
Herschrijf je recursieve functie eerst als een sommatie:
u0 = 1000 = 50000/(50-0)
u1 = u0 + 50000/(50-1) = 50000/(50-0) + 50000/(50-1)
u2 = u1 + 50000/(50-2) = 50000/(50-0) + 50000/(50-1) + 50000/(50-2)
etc
In het algemeen:
of
nu wil je u_n weten voor n=49 (dat is de laatste speler die geld oplevert)
stel: j=50-i (waarbij i=0..49) dan wordt deze som:
Deze laatste sommatie is het 50e harmonisch getal,
zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonisch_getal,
waar geen eenvoudige directe functie voor bestaat.
Je zou dit kunnen benaderen met de integraal
Voor de som
geldt:
S-1 < I
S-(1/50) > I
Bij benadering kan je I precies tussen S-1 en S-(1/50) nemen, dan volgt hieruit:
S = [(I+1) + (I+(1/50))]/2 = I + 0.51 = 4.422
Je kan deze som ook exact uitrekenen, dan krijg je (de 50 noemers gelijknamig maken =
kleinst genemene veelvoud van 2 t/m 50 = kgv(2 t/m 50), vervolgens de tellers optellen):
Je ziet dat we met de eerste benadering redelijk goed uitkwamen.
u0 = 1000 = 50000/(50-0)
u1 = u0 + 50000/(50-1) = 50000/(50-0) + 50000/(50-1)
u2 = u1 + 50000/(50-2) = 50000/(50-0) + 50000/(50-1) + 50000/(50-2)
etc
In het algemeen:
of
nu wil je u_n weten voor n=49 (dat is de laatste speler die geld oplevert)
stel: j=50-i (waarbij i=0..49) dan wordt deze som:
Deze laatste sommatie is het 50e harmonisch getal,
zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonisch_getal,
waar geen eenvoudige directe functie voor bestaat.
Je zou dit kunnen benaderen met de integraal
Voor de som
geldt:
S-1 < I
S-(1/50) > I
Bij benadering kan je I precies tussen S-1 en S-(1/50) nemen, dan volgt hieruit:
S = [(I+1) + (I+(1/50))]/2 = I + 0.51 = 4.422
Je kan deze som ook exact uitrekenen, dan krijg je (de 50 noemers gelijknamig maken =
kleinst genemene veelvoud van 2 t/m 50 = kgv(2 t/m 50), vervolgens de tellers optellen):
Je ziet dat we met de eerste benadering redelijk goed uitkwamen.
Re: 1 tegen 50
oke maar op deze manier heb ik nog geen directe formule voor mijn situatie want zo heb je er alleen een sommatie van gemaakt toch?
Re: 1 tegen 50
Dat klopt.
Maar als er geen directe formule voor harmonische getallen bestaat (zie hierboven), bestaat er ook geen formule voor je gelijkwaardige recursieve formule.
Immers: als er voor de recursieve formule een directe oplossing bestaat, zou je diezelfde oplossing kunnen gebruiken voor de harmonische getallen.
Je kan natuurlijk wel de bovenstaande directe benadering gebruiken: voor 1 tegen N levert dit je de
factor f = (0.51+ln(N)) op:
1 tegen N = 50 -> f = 4.4220... (werkelijke som = 4.4992...)
1 tegen N = 100 -> f = 5.1151... (werkelijke som = 5.1873...)
1 tegen N = 1000 -> f = 7.4177... (werkelijke som = 7.4854...)
1 tegen N = 1000000 -> f = 14.3255... (werkelijke som = 14.3927...)
1 tegen N = 1000000000 -> f = 21.2332... (werkelijke som = 21.3004...; je hebt hiervoor wel een hele grote zaal nodig)
Vermenigvuldigd met het basisbedrag (50000) levert deze factor steeds je gezochte beloning.
Als je kijkt naar de redelijk constante verschillen tussen werkelijke som en benadering zie je dat deze richting 0.0672 gaat. Je kan je benadering dus nog verbeteren door er 0.0672 bij op te tellen:
f = 0.5772 + ln(N)
en zo nodig nog wat meer erbij als je alleen in kleine waarden van N geinteresseerd bent.
In feite hebben we zo experimenteel de Euler-Mascheroni constante gamma bepaald: het verschil tussen
je sommatie en ln(N) voor N naar oneindig, zie bijvoorbeeld
http://nl.wikipedia.org/wiki/Constante_ ... Mascheroni
Kan je hiermee vooruit?
Maar als er geen directe formule voor harmonische getallen bestaat (zie hierboven), bestaat er ook geen formule voor je gelijkwaardige recursieve formule.
Immers: als er voor de recursieve formule een directe oplossing bestaat, zou je diezelfde oplossing kunnen gebruiken voor de harmonische getallen.
Je kan natuurlijk wel de bovenstaande directe benadering gebruiken: voor 1 tegen N levert dit je de
factor f = (0.51+ln(N)) op:
1 tegen N = 50 -> f = 4.4220... (werkelijke som = 4.4992...)
1 tegen N = 100 -> f = 5.1151... (werkelijke som = 5.1873...)
1 tegen N = 1000 -> f = 7.4177... (werkelijke som = 7.4854...)
1 tegen N = 1000000 -> f = 14.3255... (werkelijke som = 14.3927...)
1 tegen N = 1000000000 -> f = 21.2332... (werkelijke som = 21.3004...; je hebt hiervoor wel een hele grote zaal nodig)
Vermenigvuldigd met het basisbedrag (50000) levert deze factor steeds je gezochte beloning.
Als je kijkt naar de redelijk constante verschillen tussen werkelijke som en benadering zie je dat deze richting 0.0672 gaat. Je kan je benadering dus nog verbeteren door er 0.0672 bij op te tellen:
f = 0.5772 + ln(N)
en zo nodig nog wat meer erbij als je alleen in kleine waarden van N geinteresseerd bent.
In feite hebben we zo experimenteel de Euler-Mascheroni constante gamma bepaald: het verschil tussen
je sommatie en ln(N) voor N naar oneindig, zie bijvoorbeeld
http://nl.wikipedia.org/wiki/Constante_ ... Mascheroni
Kan je hiermee vooruit?