afgeleide functie

[David]

hallo,

ik weet niet zeker of er voor deze functie een afgeleide bestaat. het gaat om de formule x!.
wat ik weet als het klopt is dat deze functie alle "natuurlijke" getallen van 1 tot en met x met elkaar vermenigvuldigd. zo 3!=3.2.1=6

alvast bedankt

[arie]

Zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide voor een definitie van de afgeleide van een functie f.
Als eisen worden gesteld dat f continu is en dat de limiet



bestaat.

De functie f(x)=x! is gedefinieerd over de natuurlijke getallen, en daarom niet continu, dus niet differentieerbaar.

[David]

Arie,

dank je wel voor je reactie. de definitie van een afgeleide functie was me bekend. ik kwam er zelf niet verder mee, wiskunde docenten op school tot op heden ook niet. ik heb het programma geogebra gedownload. ik heb f(x)=x! daar ingevoerd. daar geeft geogebra (te vinden onder geogebra.org) een golvende curve voor -∞<x<0 een golvende curve. vanaf 0≤x<∞ een snel steigende curve. in mijn grafische rekenmachine kan ik ook 1.5! uitrekenen, namelijk 1.5!≈1.329340388. mijn GR kan (0.5k)! k=natuurlijk getal. 0≤k<139, Gr kan niet verder dan 10^100. dal op x≈2.58 (geogebra) ik heb een aantal waarden uitgerekend op basis van een vermoeden over de afgeleide x!. f(x)=x! f´(1) = 1 f´(2) = 3. ik heb verder niet veel kennis hierover. misschien dat jij of iemand anders hiermee verder komt.

alvast bedankt

[arie]

Er zijn benaderingen en uitbreidingen van f(n)=n! van natuurlijke naar reele en complexe waarden.
Kijk hiervoor bijvoorbeeld naar:

(1)
Formule van Stirling: http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Stirling: dit is een benadering voor n! als n groot is:



Deze functie is wel differentieerbaar en kan dan ook gelden als benadering voor jouw probleem

(2)
De gamma-functie http://nl.wikipedia.org/wiki/Gammafunctie: dit is een echte uitbreiding van faculteiten naar reele en complexe waarden.
Voor een natuurlijk getal n geldt: gamma(n) = (n-1)!
ofwel: n! = gamma(n+1).
Je calculator gebruikt deze functie om de waarden van bijvoorbeeld 1.5! uit te rekenen:
1.5! = gamma(2.5) ~= 1.329340388179137020473625613...
Een gamma-calculator vind je onder andere op
http://www.efunda.com/math/gamma/findgamma.cfm
maar je kan ook direct 1.5! in Google intypen.
Je vindt heel veel informatie over de gamma functie op
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html.
De afgeleide hiervan kan je snel benaderen via [gamma(x + delta) - gamma(x - delta)]/(2*delta) met delta>0 heel klein (bijvoorbeeld 0.000001), zoals voor elke functie. Dit lukt dus ook met je eigen calculator.
Verder heb ik volgens mij hier of daar ook nog de C-code om de gamma functie te berekenen, als je daar wat aan zou hebben kan ik proberen die terug te vinden (laat dat dan even weten).

Kom je hiermee verder?

[David]

arie,

bedankt voor je reactie. voordat ik op dit forum kwam had ik al wat gezocht. ik ben stirling tegengekomen, die heb ik gedifferentieerd, en dat is gelukt. op wikipedia was ik ook de gammafunctie tegengekomen. daar werd ik niet wijzer uit, dat vind ik moeilijk. wat je liet zien over mathworld heb ik bekeken, ook lastig maar wat ik eruit begreep is dat de afgeleide van x!= (k=1∑n 1/k).n!. dat probeerde ik te bewijzen en dat is gelukt. maar dan is de (afgeleide van x!)/x!=(k=1∑n 1/k). (=1/1+1/2+1/3+...+1/n). als de gammafunctie op mathworld direct is, weet ik niet hoe je bijv. de waarde van f´(50.6) bijv kan uitrekenen met f(x)=x!. ik weet niet of je de moeite wilt doen om de C-code om gamma uit te rekenen op te zoeken. misschien dat ik zo verder kom.

[arie]

Hier de C-code om de Gamma functie uit te rekenen:

Code: Selecteer alles

const double pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751;

// Gamma function - Lanczos approximation - relative error ~ 10^(-15)
const double GammaP[9]={
	0.99999999999980993,
	676.5203681218851,
	-1259.1392167224028,
	771.32342877765313,
	-176.61502916214059,
	12.507343278686905,
	-0.13857109526572012,
	9.9843695780195716e-6,
	1.5056327351493116e-7};

double Gamma(double x)
{
double t,u;
int i;

if(x<0.5)
	return(pi/(sin(pi*x)*Gamma(1.0-x)));
x-=1.0;
u=GammaP[0];
for(i=1;i<9;i++)
	u+=GammaP[i]/(x+i);
t=x+7.5;
return(sqrt(2*pi)*pow(t,x+0.5)*exp(-t)*u);
}

Deze functie gebruikt een Lanczos benadering met relatieve nauwkeurigheid van ongeveer 10^(-15) .
Dit is een functie voor reele waarden van x, voor een uitbreiding naar complexe getallen heb je een kleine aanpassing nodig (ik weet niet of je die ook gaat gebruiken).

Ik heb ze ook teruggevonden op het net: zie http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_approximation voor de beschrijving, en bijvoorbeeld http://www.gpstk.org/doxygen/SpecialFun ... ource.html voor meer Gamma-gerelateerde functies.

Misschien kan je dit ook gebruiken: http://www.rskey.org/gamma.htm met achtergronden bij de Lanczos benaderingen.

[David]

arie,

dank je voor alle informatie. denk je dat wat ik zei klopt, (x!)'÷x!= (k=1∑n 1/k)= (=1/1+1/2+1/3+...+1/x).
daar kwam ik op door bij (=1/1+1/2+1/3+...+1/x) teller en noemer met x! te vermenigvuldigen. teller is dan
x!÷1+x!÷2+x!÷3+...+x!÷(x-2)+X!÷(x-1)+x!÷x. noemer is x!
teller is afgeleide noemer. daartoe x!=a(a+1)(a+2)...(a+x-2)(a+x-1) met a=1. maar als je a ziet als variabele en je de productregel gebruikt om afgeleide te bepalen volgt daar toch de teller uit die ik noemde. of ben ik hier bezig het wiel uit te vinden om 1÷x te sommeren, want ik wilde daarom de directe formule weten voor afgeleide x!. nogmaals bedankt

david

[David]

De reeks is divergent. is het daarom onmogelijk om daar een directe functie voor te schrijven, ik dacht die functie gevonden te hebben. , dan = . Ik wilde dan uitrekenen hoe je de waarde voor bijv. uit kan rekenen, zo kan je de som van alle getallen van vinden, maar ik wist niet hoe je dat kan uitrekenen met de afgeleide van .

edit: Dat ik het niet kan uitrekenen komt omdat ik niet begrijp hoe je de gammafunctie moet gebruiken, en omdat ik met het programma niet overweg kan.

[David]

Een benadering, niet van mijzelf, voor is
met p zijn de priemgetallen. Dan uitschrijven als [1] Dat uitschrijven als [2]

Maar nu begrijp ik niet hoe je in deze formule van [1] naar [2] komt.

Misschien kan dan hiermee de functie voor de afgeleide van n! geschreven worden,

[David]

Over stap 1 naar stap 2, moeten er tussen de factoren (sommen tussen haakjes) geen + staan telkens, zodat het termen worden? Dan snap ik hem wel.