Goniometrische Functie, Sinusoide met varierende periode

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
WiskundeBer

Goniometrische Functie, Sinusoide met varierende periode

Bericht door WiskundeBer » 21 mei 2009, 18:02

Hoi allemaal,

Voor een praktische opdracht voor Wiskunde B is het de bedoeling dat je een functie opstelt voor een periodiek proces. Ik heb hiervoor de booster gekozen. Ik wil het verband weergeven tussen de hoogte en de tijd van een gondel van een booster.

Een booster is een kermisattractie waarbij aan een rechtopstaande mast een grote arm is bevestigd. Aan beide uiteinden van de arm is een gondel bevestigd waarin een aantal personen in kunnen plaatsnemen. De arm kan worden gedraaid (Dat is de hele bedoeling van de booster), de snelheid van de gondels is afhankelijk van de lengte van de arm en kan wel 100km/h worden. De gondels gaan ook over de kop.
Bron: Wikipedia artikel Booster

De booster kan natuurlijk varieren in snelheid, eerst moet hij optrekken, dan draait hij met een constante snelheid en daarna zal hij weer afremmen om te stoppen. Ik wil dus de sinusoide opstellen van het verband tussen hoogte van een gondel en de tijd. Maar omdat de snelheid van de booster varieert, verandert ook de periode van de functie.

De booster waar ik het over wil gaan hebben heeft een hoogte van 65 meter (hoogste punt). Dat is dus de diameter (door de draaing ontstaat er een cirkel), de straal is dus 65/2 = 32.5 meter. Als je de tijd voor 1 rondje wil berekenen bij een snelheid, dat is dus de periode moet je iets doen met de snelheid. Er geldt: v = s/t -> 27.8 = 2pi32.5/t -> 27.8 = 204.20/t --> t = 204.20/27.8 = 7.35s voor 1 rondje bij een snelheid van 100km/h. Deze tijd is de omlooptijd dus de periode bij 100km/h, je kunt dus zo b berekenen: b = 2pi/p = 2pi/7.35 = 0.85. Maar de snelheid kan ook lager zijn, hoe kan ik dit weergeven in de functie (ik bedoel dan de varierende snelheid en dus de varierende periode)?

De standaard goniometrische functie is:
y = asinb(x-c) + d.
a staat voor de amplitude, b staat voor de periode (b = 2pi/periode), c voor de verschuiving naar links of naar rechts als het naar rechts is c > 1 en d voor de evenwichtsstand.
Kun je die b dus laten varieren en hoe kun je dit in het functievoorschrift weergeven? Hoe kan je de b erbuiten halen en kan je de functie voor b dan invullen voor b om zo een functie te krijgen met een varierende periode?

De periode is ook te berekenen door: = 1/frequentie. De b kun je berekenen door: b = 2pi/periode dus: b = 2pi/(1/frequentie) = 2pi*frequentie/1 = 2pi*frequentie.
Ik denk dat het iets met snelheid heeft te maken dus geldt ook: v = s/t. v de snelheid (m/s), s de afstand (m) en t de tijd (s) voor de afstand van 1 rondje geldt: pi*diameter = pi*2*straal. Dus: v = (pi*2*straal)/t. Als de snelheid bekend is kan je de omlooptijd berekenen en dus de periode en dus b.

De evenwichtsstand zit op het draaipunt dus in het midden van de arm op 32.5 meter, de amplitude is dan ook 32.5 meter. Er is geen horizontale verschuiving dus zal je de functie krijgen:
hoogte = 32.5sinbx + 32.5

Ik vroeg me af, of je een functie kunt opstellen voor periodieke beweging waarvan de periode en dus b varieert? Kan iemand mij misschien hiermee helpen?

Kan iemand mij helpen?

Alvast bedankt!

Plaats reactie