wentelen om de y-as

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 17 okt 2009, 15:31

een vraag:

stel dat je de grafiek van f wentelt om de y-as over het interval [0,2]. dmv welke integraal zou je het volume dan kunnen noteren?
ja, hoe doe je dit??

dank u
“Heal the world.” Michael Jackson

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: wentelen om de y-as

Bericht door arno » 17 okt 2009, 15:48

Als je de grafiek van f wentelt om de x-as krijg je voor het volume een uitdrukking van de vorm . In dat geval liggen de integratiegrenzen dus bij x = a en x = b. Bij een wenteling om de y-as liggen de integratiegrenzen bij y = p en y = q. Hoe zou de uitdrukking voor het volume, uitgedrukt in een integraal, er dan volgens jou uit moeten zien?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 17 okt 2009, 16:01

ik zou het eigenlijk niet weten :(
“Heal the world.” Michael Jackson

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 17 okt 2009, 18:01

Aniek schreef:een vraag:

stel dat je de grafiek van f wentelt om de y-as over het interval [0,2]. dmv welke integraal zou je het volume dan kunnen noteren?
ja, hoe doe je dit??

dank u
Heb je een tekening gemaakt?
Probeer je voor te stellen dat je een punt (x,√x) wentelt om de y-as.
Wat voor baan beschrijft dit punt?

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 18 okt 2009, 11:47

het is de integraal van f(x) die een circel maakt, maar ik weet niet hoe ik dat in een formule schrijf :(

dank u
“Heal the world.” Michael Jackson

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: wentelen om de y-as

Bericht door arno » 18 okt 2009, 12:16

Even een aantal dingen op een rijtje: je weet dat f een functie is met het voorschrift f(x) = √x. Je wilt nu de grafiek van f wentelen om de y-as, waarbij je alleen geïnteresseerd bent in de waarden 0≤y≤2. Als je weet dat y = f(x), dan weet je dat de inhoud is van een omwentelingslichaam als je de grafiek van f wentelt om de x-as. In dit geval moet je echter de grafiek van f wentelen om de y-as, waarbij je weet dat y = f(x) en f(x) = √x. Hoe vind je nu de inhoud van het omwentelingslichaam? Hint: als y = f(x), is het in dit geval mogelijk een functie g te vinden met de eigenschap dat x = g(y). Wat weet je nu van de grafieken van f en g?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 13:06

Aniek schreef:het is de integraal van f(x) die een circel maakt, maar ik weet niet hoe ik dat in een formule schrijf
Helaas geef je geen antwoord op m'n vraag.
Vergeet nog even die integraal en probeer je voor te stellen wat er gebeurt.

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 18 okt 2009, 14:00

SafeX schreef: Heb je een tekening gemaakt?
Probeer je voor te stellen dat je een punt (x,√x) wentelt om de y-as.
Wat voor baan beschrijft dit punt?
jaja, heb een tekening, dat punt beschrijft een circel.
“Heal the world.” Michael Jackson

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 14:47

Ja.
Een cirkel heeft twee attributen middelpunt en straal.
Wat is het middelpunt en wat is de straal?

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 18 okt 2009, 15:26

het middelpunt is de y-as
de straal is x

xx
“Heal the world.” Michael Jackson

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 15:39

Het middelpunt is (0,√x)!
Nu maken we er een schijfje van met dikte ∆x. Dus ter hoogte √x.
Wat is het volume van dit schijfje als je ∆x zeer klein neemt?

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 18 okt 2009, 16:22

je bedoelt een horizontale schijf:
“Heal the world.” Michael Jackson

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 16:46

Heel goed, alleen moet ∆x, ∆y zijn. Nu stapelen we de schijfjes en tellen de inhouden op.
Ken het sommatie-teken ∑?
Dus de inhoud is ∑ (πx²∆y), waarbij alle schijfjes tussen de grenzen op de y-as opgeteld worden.
Tenslotte laten we ∆y => 0 gaan waarbij het som-teken ∑ in het integraal-teken wordt omgezet
We hebben de functie f(x)=√x schrijf nu y=√x.
Dus we krijgen:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: wentelen om de y-as

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 18:29

SafeX schreef:Heel goed, alleen moet ∆x, ∆y zijn. Nu stapelen we de schijfjes en tellen de inhouden op.
Ken het sommatie-teken ∑?
Dus de inhoud is ∑ (πx²∆y), waarbij alle schijfjes tussen de grenzen op de y-as opgeteld worden.
Tenslotte laten we ∆y => 0 gaan waarbij het som-teken ∑ in het integraal-teken wordt omgezet
We hebben de functie f(x)=√x schrijf nu y=√x.
Dus we krijgen:
Een aanvulling:

Gebruikersavatar
Aniek
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 220
Lid geworden op: 06 mar 2009, 12:49

Re: wentelen om de y-as

Bericht door Aniek » 19 okt 2009, 13:07

kun je de aanvulling wat beter verklaren aub? dank u
“Heal the world.” Michael Jackson

Plaats reactie