Wiskundeforum

een vraag:

stel dat je de grafiek van f wentelt om de y-as over het interval [0,2]. dmv welke integraal zou je het volume dan kunnen noteren?
ja, hoe doe je dit??

dank u

Als je de grafiek van f wentelt om de x-as krijg je voor het volume een uitdrukking van de vorm . In dat geval liggen de integratiegrenzen dus bij x = a en x = b. Bij een wenteling om de y-as liggen de integratiegrenzen bij y = p en y = q. Hoe zou de uitdrukking voor het volume, uitgedrukt in een integraal, er dan volgens jou uit moeten zien?

ik zou het eigenlijk niet weten

Aniek schreef:een vraag:

stel dat je de grafiek van f wentelt om de y-as over het interval [0,2]. dmv welke integraal zou je het volume dan kunnen noteren?
ja, hoe doe je dit??

dank u

Heb je een tekening gemaakt?
Probeer je voor te stellen dat je een punt (x,√x) wentelt om de y-as.
Wat voor baan beschrijft dit punt?

het is de integraal van f(x) die een circel maakt, maar ik weet niet hoe ik dat in een formule schrijf

dank u

Even een aantal dingen op een rijtje: je weet dat f een functie is met het voorschrift f(x) = √x. Je wilt nu de grafiek van f wentelen om de y-as, waarbij je alleen geïnteresseerd bent in de waarden 0≤y≤2. Als je weet dat y = f(x), dan weet je dat de inhoud is van een omwentelingslichaam als je de grafiek van f wentelt om de x-as. In dit geval moet je echter de grafiek van f wentelen om de y-as, waarbij je weet dat y = f(x) en f(x) = √x. Hoe vind je nu de inhoud van het omwentelingslichaam? Hint: als y = f(x), is het in dit geval mogelijk een functie g te vinden met de eigenschap dat x = g(y). Wat weet je nu van de grafieken van f en g?

Aniek schreef:het is de integraal van f(x) die een circel maakt, maar ik weet niet hoe ik dat in een formule schrijf

Helaas geef je geen antwoord op m'n vraag.
Vergeet nog even die integraal en probeer je voor te stellen wat er gebeurt.

SafeX schreef: Heb je een tekening gemaakt?
Probeer je voor te stellen dat je een punt (x,√x) wentelt om de y-as.
Wat voor baan beschrijft dit punt?

jaja, heb een tekening, dat punt beschrijft een circel.

Ja.
Een cirkel heeft twee attributen middelpunt en straal.
Wat is het middelpunt en wat is de straal?

het middelpunt is de y-as
de straal is x

xx

Het middelpunt is (0,√x)!
Nu maken we er een schijfje van met dikte ∆x. Dus ter hoogte √x.
Wat is het volume van dit schijfje als je ∆x zeer klein neemt?

je bedoelt een horizontale schijf:

Heel goed, alleen moet ∆x, ∆y zijn. Nu stapelen we de schijfjes en tellen de inhouden op.
Ken het sommatie-teken ∑?
Dus de inhoud is ∑ (πx²∆y), waarbij alle schijfjes tussen de grenzen op de y-as opgeteld worden.
Tenslotte laten we ∆y => 0 gaan waarbij het som-teken ∑ in het integraal-teken wordt omgezet
We hebben de functie f(x)=√x schrijf nu y=√x.
Dus we krijgen:

SafeX schreef:Heel goed, alleen moet ∆x, ∆y zijn. Nu stapelen we de schijfjes en tellen de inhouden op.
Ken het sommatie-teken ∑?
Dus de inhoud is ∑ (πx²∆y), waarbij alle schijfjes tussen de grenzen op de y-as opgeteld worden.
Tenslotte laten we ∆y => 0 gaan waarbij het som-teken ∑ in het integraal-teken wordt omgezet
We hebben de functie f(x)=√x schrijf nu y=√x.
Dus we krijgen:

Een aanvulling:

kun je de aanvulling wat beter verklaren aub? dank u