vergelijking met 3 variabelen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
`robert
Vast lid
Vast lid
Berichten: 53
Lid geworden op: 06 jan 2008, 22:30

vergelijking met 3 variabelen

Bericht door `robert » 17 okt 2009, 19:41

Ten eerste ik weet niet of het hier hoort hoor ;)

Moeilijke wiskundige vraag, tis beetje extra,geen leerstof over gehad maar ik kom er niet uit mischien met hulp/tips van jullie wel

Oké volgende ongelijkheid:





a,b,c zijn gehele getallen.

Nou zelf dacht ik eerst maar wat andere regels er bij zoeken dit is wat ik al had
a moet positief zijn anders is b,c ook negatief en kan niet klopen.
Er moet mindstens 1 negatief getal zijn om -1 te krijgen uit
dat kan als b negatief is en dus c ook, of b positief en dus c kortom c is altijd negatief

Uit het feit dat c altijd negatief is betekend dus dat

uit blijkt dat (want stel , dan kan b maximaal 2 zijn () en en dus kan het niet)

Ook, heb ik geprobeerd dat als dan is b -1 () en dan krijg je (a is niet gelijk aan -c)

ook had ik ergens staan c<-6 maar ik weet niet meer hoe ik daarbijkwam/redeneerde

Even op een rijtje wat ik had.





(a is niet gelijk aan -c)

Zou heel tof zijn als iemand mij in goede richting kan sturen ;)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door arie » 17 okt 2009, 22:44

Om een oplossing te vinden kan je het volgende doen:

Uit [2] volgt:
c = 5-a-b
substitueer dit in [1] en je krijgt een 2e-graads vergelijking in a en b:
a^3 + b^3 + (5-a-b)^3 = -1
Werk deze om (je ziet dat de 3e machten van a en b dan wegvallen) naar de vorm
A*b^2 + B*b + C = 0
waarbij A, B en C alleen afhangen van a.
Los deze op met de ABC-formule, en je krijgt



waarbij D=B^2-4AC (dus D ook alleen afhankelijk van a).

Nu moet b een geheel getal zijn, dus D>=0 en D moet een kwadraat van een geheel getal t zijn,
ofwel: D = t^2 waarbij t geheel.
Je had al gevonden a>3, dus kijk voor welke a=4,5,6,... bovenstaande voor D geldt, en zoek de oplossing
waarbij b ook een geheel getal is.
Je weet dan ook c=5-a-b.
Zet a,b en c tenslotte in de goede volgorde (a>b>c).

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 13:14

Vele manieren zijn mogelijk, bv gewoon proberen. Als er nl een opl is moet met excel een heleboel mogelijk zijn.
Wil je de gegevens eerst gaan gebruiken, werk dan uit (a+b+c)³ (waarom eigenlijk?). Dat is niet zo moeilijk als het lijkt. Er zijn 3 factoren a+b+c. Je krijgt dus de termen door uit elke factor a of b of c te kiezen.
Bv uit 2 factoren een a en uit één een b, dat kan dus op 3 manieren (klopt dat?).
Wat krijg je?

`robert
Vast lid
Vast lid
Berichten: 53
Lid geworden op: 06 jan 2008, 22:30

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door `robert » 18 okt 2009, 14:04

Arie, ik heb dus geprobeerd (5-a-b)^3 te vervangen voor c^3 om dan abc-formule te gebruiken maar als ik het uitwerk kom ik uiteindeiljk op



de ^3s vallen inderdaad weg maar ik houd nogsteeds iets over waar ik totaal niks mee kan?


Safex ik snap helemaal niet wat jij wilt/bedoelt. waar haal jij (a+b+c)³ vandaan en over die termen snap ik helemaal niks wat jij zegt. :oops:

Ik weet intussen het antwoord al wel, maar ik ben nogsteeds opzoek naar 'de-methode'
antwoorden zijn : a=8, b=6, c=-9

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 14:44

(a+b+c)³ is een product van 3 factoren a+b+c.
Een factor is een deel van een vermenigvuldiging of product.
Een term is een deel van een optelling of som.
Zijn dit nieuwe begrippen?

Maar waarom zou nu (a+b+c)³ met de uitwerking (in termen) belangrijk zijn?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door arie » 18 okt 2009, 14:48

Vanuit
a^3 + b^3 + (5-a-b)^3 = -1
kom ik uit op
a^3 + b^3 + 1 + (5-a-b)^3 = 0
a^3 + b^3 + 1 - (a-5+b)^3 = 0
a^3 + b^3 + 1 - [(a-5)+b]^3 = 0
a^3 + b^3 + 1 - [(a-5)^3 + 3(a-5)^2b + 3(a-5)b^2+b^3] = 0
a^3 + b^3 + 1 - (a-5)^3 - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 - b^3 = 0
a^3 + 1 - (a-5)^3 - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 = 0
a^3 + 1 - (a^3-15a^2+75a-125) - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 = 0
a^3 + 1 - a^3 + 15a^2 - 75a + 125 - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 = 0
1 + 15a^2 - 75a + 125 - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 = 0
15a^2 - 75a + 126 - 3(a-5)^2b - 3(a-5)b^2 = 0
5a^2 - 25a + 42 - (a-5)^2b - (a-5)b^2 = 0
- 5a^2 + 25a - 42 + (a-5)^2b + (a-5)b^2 = 0
(a-5)b^2 + (a-5)^2b + (- 5a^2 + 25a - 42) = 0

Dit is de 2e graadsvergelijking in b in de vorm
A*b^2 + B*b + C = 0
met
A = (a-5)
B = (a-5)^2
C = (- 5a^2 + 25a - 42)

Dus
D = B^2-4AC
D = (a-5)^4-4*(a-5)*(- 5a^2 + 25a - 42)
...
D = a^4 -50a^2 + 168a - 215

Nu proberen:
a=4 -> D = -87, mag niet
a=5 -> D = 0, maar levert geen oplossing (waarom niet?)
a=6 -> D = 289 = 17^2 = t^2

b=[-(a-5)^2 +/- t]/[2(a-5)] = (-1 +/- 17)/2
b= 16/2 = 8 OF b = -18/2 = -9
dus
b= 8 -> c = 5-6-8 = -9
b= -9 -> c = 5-6-(-9) = 8

Wegens symmetrie van
a^3 + b^3 + c^3 = -1
en
a+b+c=5
mogen we a,b en c vrij verwisselen (= in de goede volgorde zetten), dus de oplossing is:

(a,b,c) = (8,6,-9).


Op deze manier hoef je maar te proberen met 1 variabele (=a), dit werkt doorgaans sneller dan proberen met 2 of meer variabelen die je allemaal verschillende waarden moet geven.

De vergelijking die je hier hebt valt onder Diophantische vergelijkingen, zie bijvoorbeeld
http://nl.wikipedia.org/wiki/Diophantische_vergelijking
Deze zijn over het algemeen niet heel eenvoudig op te lossen.
Als je jouw vergelijking iets anders schrijft, kom je uit op

1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3

Een oplossing van

A^3 + B^3 + C^3 = D^3

die je hier terugvindt:
http://mathworld.wolfram.com/Diophantin ... owers.html
met deze oplossing genoteerd als vergelijking (11).
Jouw oplossing is dus een van de kleinste oplossingen van bovenstaande algemene vergelijking.

Vind je deze ook niet erg mooi:
3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door arie » 18 okt 2009, 14:55

PS, n.a.v. SafeX hierboven:
Kan je inderdaad s.v.p. aangeven op welk niveau van onderwijs je ongeveer zit?
Dan wordt het voor ons gemakkelijker om je verder te helpen / je vragen te beantwoorden.

`robert
Vast lid
Vast lid
Berichten: 53
Lid geworden op: 06 jan 2008, 22:30

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door `robert » 18 okt 2009, 15:23

Mijn nivo is 5vwo, wiskunde B + D.
Ik was/ben wel zeker op de hoogte van die termen, maar ik begrijp niet waar safex op doelt met zijn vragen.
Ik bestudeer nu eerst even jou eerdergeplaatste antwoord ;) en zal zo wel editen.

Edit:
ik zal ten eerst moeten zeggen dat ik niet bekend ben met hoe jij (5-a-b)^3 omschrijft en uitwerkt als [(5-a)-b]^3

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door arie » 18 okt 2009, 15:41

Dit is wat SafeX bedoelde met de veelterm producten:

(x+y)^3
= (x+y)*(x+y)*(x+y)
= [(x+y)*(x+y)]*(x+y)
= [x^2+2xy+y^2]*(x+y)
= [x^2+2xy+y^2]*x + [x^2+2xy+y^2]*y
= [x^3+2x^2y+xy^2] + [x^2y+2xy^2+y^3]
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

kom je hiermee verder?

[PS: je bent goed bezig voor 5vwo!]

`robert
Vast lid
Vast lid
Berichten: 53
Lid geworden op: 06 jan 2008, 22:30

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door `robert » 18 okt 2009, 16:11

Ja nu snap ik wat hij bedoelt, het is eigenlijk gewoon een handigheidje wat het uitwerken tijd bespaart.
Toch is deze opdracht denk ik boven mijn nivo, het is ook niet een vraag uit het boek maar meer een extra vraag.
Iedereen bedankt voor de hulp. Ik denk dat mijn vraag nu wel duidenlijk genoeg is beantwoord

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: vergelijking met 3 variabelen

Bericht door SafeX » 18 okt 2009, 16:23

arie schreef:Dit is wat SafeX bedoelde met de veelterm producten:

(x+y)^3
= (x+y)*(x+y)*(x+y)
= [(x+y)*(x+y)]*(x+y)
= [x^2+2xy+y^2]*(x+y)
= [x^2+2xy+y^2]*x + [x^2+2xy+y^2]*y
= [x^3+2x^2y+xy^2] + [x^2y+2xy^2+y^3]
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
Helaas maar dit bedoelde ik niet.

(x+y)²=(x+y)(x+y)
we moeten uit beide factoren een x of een y kiezen dit vermenigvuldigen en tenslotte het resultaat optellen.
Kies uit beide x, dan uit beide y, en dan een x en een y maar dat kan op twee manieren.
Opm: dit is precies de 'boogjes' methode.

(a+b+c)³=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
Hoe vinden we (bv) b²c?
Kies de factor waaruit je c neemt. Op hoeveel manieren kan dat?
Wat moet je dan uit de andere factoren nemen?
Je vindt dan 3b²c. Klopt dat?
Probeer dat nu eens voor abc?
Opm: je kan ook hier boogjes zetten, maar dan vergis je je makkelijk.

Plaats reactie