Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 16:13

Beste forumlezers,

Ik zit met een kleine vraag over stelsels van lineaire vergelijkingen. Indien je een stelsel uitkomt van één vergelijking. (dus wanneer de functies samenvallen en er dus oneindig veel oplossingen zijn) Is het dan gelijk wat je gelijkstelt aan "t"?

vb: x + y - 3z = 5 | . -3 | . - 2
3x + 2y - 9z = 10 | . 1 | . 1

Via de combinatiemethode bereken ik dus y:
-3 x - 3 y + 9 z = - 15
3 x + 2 y - 9 z = 10
-------------------------
- 1 y = - 5
y = 5

Via de combinatiemethode wil ik dan de rest berekenen:
- 2 x - 2 y + 6 z = - 10
3 x + 2 y - 9 z = 10
-------------------------
1 x - 3 z = 0 ( dit is strijdig? )

Dus als ik hier z = t stel, bekom ik
x = 3 t en bekom ik de oplossingenverzameling V={(3t,5,t)|t € R}

MAAR als ik hier x = t stel, bekom ik
z = 1/3 t en bekom ik een andere oplossingenverzameling namelijk V = {(t,5,1/3t)|t € R}

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 16:24

Jeanvion schreef:Via de combinatiemethode wil ik dan de rest berekenen:
- 2 x - 2 y + 6 z = - 10
3 x + 2 y - 9 z = 10
-------------------------
1 x - 3 z = 0 ( dit is strijdig? )

Dus als ik hier z = t stel, bekom ik
x = 3 t en bekom ik de oplossingenverzameling V={(3t,5,t)|t € R}

MAAR als ik hier x = t stel, bekom ik
z = 1/3 t en bekom ik een andere oplossingenverzameling namelijk V = {(t,5,1/3t)|t € R}
1 x - 3 z = 0 ( dit is strijdig? )
Dit is allerminst strijdig!
En je behandel het goed.
Weet je ook wat de meetkundige betekenis is van wat je hebt gevonden?

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 16:28

Dus het maakt niet uit aan wat ik gelijk stel aan t? Ik ben vrij om daarin te kiezen?

Ik weet inderdaad niet echt wat de meetkundige betekenis ervan. Ik veronderstel dat de oplossingverzameling alle punten voorstelt waarin de 2 samenvallende rechten elkaar raken? :idea:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 16:44

De twee verg stellen vlakken voor in R3.
Dus wat je nu gevonden hebt is de snijlijn, met als bijzonderheid dat deze snijlijn in het vlak y=5 ligt.
Maar heb je daar een beeld van?

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 16:51

Ik heb geen idee wat je bedoelt met R3? :-)

Ik veronderstel dat het 2 horizontale samenvallende rechten zijn in y = 5? Is het nu eender aan wat ik t gelijk stel of niet?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 17:01

Weet je ook niet wat we(!) met R2 bedoelen, dat is het platte vlak. Een rechte daarin heeft als verg:
ax+by+c=0.
Wat zou R3 nu zijn?

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 17:03

R3 zal dan gelijk zijn aan 3 assen zeker, namelijk de x, y en z as?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 17:29

Juist dus de ons bekende ruimte 3D.
De lijn die je hebt gevonden bevindt zich in het vlak y=5. Dat vlak is evenwijdig aan het vlak y=0 of het XZ-vlak.
Bedenk ook dat het vlak y=5 ook geschreven kan worden als 0*x+1*y+0*z=5.
Maar leg eens uit waarom je dit allemaal niet weet.
Maak je dan nu een voorstelling van de lijn in de ruimte. Je kan deze lijn tekenen als je je vlak van tekening beschouwt als het vlak y=5.

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 17:44

SafeX schreef:Juist dus de ons bekende ruimte 3D.
De lijn die je hebt gevonden bevindt zich in het vlak y=5. Dat vlak is evenwijdig aan het vlak y=0 of het XZ-vlak.
Bedenk ook dat het vlak y=5 ook geschreven kan worden als 0*x+1*y+0*z=5.
Maar leg eens uit waarom je dit allemaal niet weet.
Maak je dan nu een voorstelling van de lijn in de ruimte. Je kan deze lijn tekenen als je je vlak van tekening beschouwt als het vlak y=5.
Ja, mijn basis van wiskunde is volgens mij onvoldoende. Ik volg nu het schakelprogramma master na bachelor in bedrijfskunde aan de VUB. De oefeningen oplossen lukt mij aardig tot dusver, maar de redenering erachter blijft soms achterwege...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 17:52

Nu kan je iig inzien dat het niet strijdig is en een snijlijn voorstelt.
Heb je deze al getekend?

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 17:54

Ja, ik zie nu inderdaad dat het een snijpunt is. Wij moeten voorlopig niet tekenen in 3 dimensies, enkel in 2 dimensies.

Vriendelijk bedankt alvast voor de goede hulp!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 19:05

Het is een snijlijn! En dat tekenen is niet in R3 maar in het vlak van je blad papier.

Jeanvion
Vast lid
Vast lid
Berichten: 33
Lid geworden op: 12 dec 2009, 15:56

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door Jeanvion » 12 dec 2009, 19:31

Ja, een snijlijn bedoelde ik dus. Ik moet het niet kunnen tekenen en zou dus ook niet weten hoe ik eraan zou moeten beginnen.

Je moet waarschijnlijk altijd Y = 5 invullen en dan x invullen om z te berekenen:

x + y - 3 z = 5

Dus: X=0 0 + 5 - 3 z = 5 <-> z = 0
X=1 1 + 5 - 3 z = 5 <-> z = 1/3

Schiet mij niet dood, maar ik weet niet waar de z-as ligt

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door arno » 12 dec 2009, 21:20

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Stelsels van Lineaire vergelijkingen

Bericht door SafeX » 12 dec 2009, 21:45

Je hebt al
Jeanvion schreef:Beste forumlezers,
Via de combinatiemethode wil ik dan de rest berekenen:
- 2 x - 2 y + 6 z = - 10
3 x + 2 y - 9 z = 10
-------------------------
1 x - 3 z = 0 ( dit is strijdig? )
dit gevonden.
Als je vlak van tekening (je vel papier) het vlak y=5 is. Kan je een x-as en een z-as tekenen. Deze twee assen lopen evenwijdig aan de (echte) x- en z-as.
En je tekent z=1/3 x, dwz deze gaat door de oorsprong (0,0)(eigenlijk (0,5,0), je y-as staat nu loodrecht je papier).

Plaats reactie