Partiële integratie

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Partiële integratie

Bericht door naomi » 13 dec 2009, 18:52

Opgave:
∫xsin(πx)dx

Oplossing:
(sin(πx)-xcos(πx)π)/((π)^2)

Echter zie ik niet hoe ze hiertoe komen. Kan iemand mij helpen?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 13 dec 2009, 19:15

Heb je zelf een idee? Partiële integratie, hoe heb je dat geleerd? Bv:

of:

of op een andere manier?

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 14 dec 2009, 14:08

Dit is de formule die ik voor partiële integratie heb geleerd.

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx oftewel ∫u dv = uv-∫vdu

Opgave:
∫xsin(πx)dx
Ik was tot de volgende uitwerking gekomen, maar weet niet of ik op de goede weg ben en welke stappen volgen die leiden tot de juiste oplossing.

Uitwerking:
u=x dv=sin(πx)
du=1dx v=(-cos(πx))/(πx)

∫xsin(πx)dx =((-xcos(πx))/(π))-∫((cos(πx))/(π))*1dx

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 14 dec 2009, 15:06

De tweede formule die je opschrijft is identiek aan mijn tweede formule. Je gebruikt deze verkeerd. Ik zal uitgaan van de eerste formule.
Je keus(!) voor g'(x)=sin(pi x) is goed. Wat is nu g(x)?

Opm: ik kom nog terug op de tweede formule.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 14 dec 2009, 15:48

g(x)=(-cos(πx))/(π)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 14 dec 2009, 18:25

Prima, pas nu de eerste formule toe.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 14 dec 2009, 19:29

(-xcos(πx))/(π)-∫((-cos(πx))/(π))*1

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 14 dec 2009, 23:14

naomi schreef:(-xcos(πx))/(π)-∫((-cos(πx))/(π))*1dx
Let op wat je vergeten bent (rood aangegeven).
En wat let je om die integraal te bepalen?

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 15 dec 2009, 15:23

((-xcos(πx))/(π))-(1/((π)^2)sin(πx)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 15 dec 2009, 15:47

Bijna goed en je gebruikt wel erg veel haakjes.
-1/pi xcos(pi x) + 1/pi² sin(pi x).
Om dit te controleren kan je dit resultaat differentiëren.

Nu de regel:
ʃudv=uv-ʃvdu
Merk op dat v=-1/pi cos(pi x) en u=x
Ga de regel na.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 15 dec 2009, 16:11

x*1/pi cos(pi x)-ʃ1/pi cos(pi x)*1dx

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 15 dec 2009, 20:04

Je hebt niet op het -teken gelet
naomi schreef:-x*1/pi cos(pi x)-ʃ-1/pi cos(pi x)dx
*1 onder de integraal hoort er nu niet bij. Ga dat na.
Ik weet nog niet hoe dit allemaal op je overkomt.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 15 dec 2009, 20:27

Ik heb de volgende waarden genomen om de formule in te vullen

u=x v=(-1/π)*cos(πx)
du = 1*dx dv=sin(πx)

en kom dan tot de volgende berekening x*(-1/π)*cos(πx)-ʃ(-1/π)*cos(πx)1*dx
Wat bedoel je met *1 onder de integraal hoort er niet bij?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 15 dec 2009, 21:02

u=x dus du=dx.
Wanneer je dus letterlijk invult hoort 1* er niet bij.
Waar het omgaat is: u en v zijn functies van een variabele (bv x).
De regel: ʃudv=uv-ʃvdu komt van de productregel duv=udv+vdu, kan je dat inzien?

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 15 dec 2009, 21:13

Het is helder. Bedankt voor je hulp.

Plaats reactie