Partiële integratie

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 15 dec 2009, 22:14

OK! Succes.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 19 dec 2009, 21:21

Bij deze opgave is mij niet duidelijk waarom in stap 2, (1/2) buiten de integraal geplaatst wordt.
Kan iemand mij helpen?

Opgave:∫ xe^-2x dx
Uitwerking:
Stap 1= x ∫e^(-2x) dx - ∫[d/dx(x) ∫e^(-2x)dx]dx
Stap 2= - (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
Stap 3= - (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c
Stap 4= - (1/4)(2x + 1)e^(-2x) + c.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 19 dec 2009, 21:30

Van welke regel ga je uit (zie je vorige vraag)?

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 19 dec 2009, 21:48

ʃudv=uv-ʃvdu
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 19 dec 2009, 22:21

Je wilt dus ∫udv bekijken met u=x en v=e^(-2x)dx. Maar dat kan niet want dat is geen dv.
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.

Opm: ga na dat dit klopt met ∫f(x)g'(x)dx met f(x)=x en g'(x)=e^(-2x).

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 20 dec 2009, 16:15

[quote="SafeX"]Je wilt dus ∫udv bekijken met u=x en v=e^(-2x)dx. Maar dat kan niet want dat is geen dv.
Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen.. Ziedaar het antwoord op je vraag.

Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt met bovenstaande tekst. Bij de formule ʃudv kwam ik bij deze berekening uit:

ʃudv=uv-ʃvdu
u = x
du = dx
dv = e^-2x dx
v = (-1/2)e^-2x
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx

en gebruik volgens mij niet alleen u en v om ʃudv te bepalen, maar uv-ʃvdu om ʃudv te bepalen.
"Je moet e^(-2x) 'onder de d schuiven', dat betekent primitiveren (naar x). Dus: de^(-2x)=-2e^(-2x)dx, zodat nog met -1/2 vermenigvuldigd moet worden om hetzelfde te krijgen."
Dit kon ik niet helemaal volgen

Verder kwam ik met f(x)g(x)-ʃg(x)f'(x)dx tot de volgende berekening, waarbij
f(x)=x g'(x)=e^(-2x)
f'(x)=dx g(x)=-1/2e^(-2x)
x-1/2e^(-2x)-ʃ-1/2e^(-2x)dx

Bij het definieren van de waarden bij beide formules (ʃudv=uv-ʃvdu als ʃudv=uv-ʃvdu) kom ik bij dezelfde waarden uit. Ben ik op de goede weg?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 20 dec 2009, 17:04

Nu doe je 't goed.
Je hebt nu dv= e^(-2x)dx gesteld (zie je vorige tekst) en zo kom je ook tot de factor -1/2 (hetgeen ik aangaf) ipv 1/2 (zie je eigen tekst).
Overigens zie ik nu wel dv=... staan.
Immers een constante factor mag je toch als factor voor het integraalteken zetten?
Je kan dit nu verder afmaken, niet?

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 20 dec 2009, 17:21

Kun je aangeven waarom de constante factor, in dit geval 1/2 buiten de integraal gezet mag worden?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Partiële integratie

Bericht door arno » 20 dec 2009, 18:01

Er geldt dat .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 20 dec 2009, 18:03

De constante factor is -1/2!

Dit is een eigenschap van de integraal:

Daar moet je toch bekend mee zijn!?!

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 20 dec 2009, 18:41

Nu herinner ik me de eigenschap van de integraal weer.
Dit zou dan de verdere uitwerking moeten zijn
- (x/2)e^(-2x) + (1/2) ∫e^(-2x) dx
- (x/2)e^(-2x) - (1/4) e^(-2x) + c

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 20 dec 2009, 19:55

Lijkt me goed.

naomi
Vast lid
Vast lid
Berichten: 88
Lid geworden op: 13 dec 2009, 18:37

Re: Partiële integratie

Bericht door naomi » 20 dec 2009, 20:17

Bedankt

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële integratie

Bericht door SafeX » 20 dec 2009, 21:14

OK! Succes.

sasuke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 07 jan 2010, 18:34

Re: Partiële integratie

Bericht door sasuke » 07 jan 2010, 18:46

Ik heb ook een probleempje met een oefening op partiële integratie:

∫BgSin(ax)dx

Wij gebruiken ook deze formule: ∫u dv = uv-∫vdu

Dus:
BgSin(ax) = u
Dx = dv
x = v

Dan krijg je: BgSin(ax).x - ∫ D(BgSin(ax)) . x

= BgSin(ax).x - ∫ (1/*wortel* 1-ax²) . 1/a . x . dx

Die 1/a kun je nog voor de integraal brengen, maar hoe dan verder?
Door die x daar kun je er geen basisintegraal van maken, ofwel?

Ik zit alleszinds vast...

Dank bij voorbaat.

Plaats reactie