ontbinden in factoren

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 28 jan 2010, 21:27

In de vorige post gaf ik: v(t)=2i(a+3)(y-1). dat moet zijn: v(t)=2(a+3)(y-1).

Ik heb inmiddels w in geogebra getekend, met eigenlijk 2 krommen:
en
.

Het beeld is eigenlijk het vierkant alleen dan vervormd, met hoekpunten op (4,0), (16,0), (12,-16) en (0,-8)
nog steeds 16 gesloten figuren, zeg maar de vierkanten maar dan gebogen.

Ik denk dat het hiermee opgelost is, of niet?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 28 jan 2010, 22:14

Ja in het z-vlak heb je vierkanten, in 't w-vlak (iets vervormde) vierkanten. Als we één van de vierkanten in het z-vlak weer verder verdelen in vierkantjes, wat verwacht je dan in het w-vlak?
Kan je ook iets van de verhouding van de zijden van de vierkanten zeggen?

Bekijk de diagonalen van het grote vierkant in het z-vlak en probeer de afbeelding in het w-vlak te krijgen
Eén van de diagonalen is y=x stel nu x=t dan is y=... en bepaal het beeld van z=t+i ... .
Laat zien dat kromme[t,...,t,-1,1] inderdaad de diagonaal is in het vierkant.
Bepaal ook de andere diagonaal.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 29 jan 2010, 20:16

Als we een van de vierkantjes kleiner maken verwacht ik dat dat vierkantje ook weer gaat vervormen. Ik denk dat in het z-vlak, waar (een illusie van) 16 vierkantjes staan, de buitenste rand van het grote vierkant in 4 delen kan worden gesplitst; bij elk deel is de onderrand van een vierkant. vb: lijn 1+iy -1≤y≤1: -1≤y≤-0.75 is de rand van een vierkant, -0.751≤y≤-0.5 is de rand van een vierkant enz. In het w-vlak zullen die randen steeds groter worden hoe kleiner y wordt. Over de verhouding: evt: u(t)=... transleren (heet dat zo?)
naar u(t)=t, en dezelfde translaties die nodig zijn bij u(t), toe te passen op v(t).

de diagonalen uit het z-vlak zijn: en . dat lijkt wel te kloppen; je geeft y=x als een van de diagonalen als x=t, dan y=t. dan zou het . evt: (1+i)t (of..?) worden. het beeld van -1≤t≤1= van (-1,-1) tot (1,1), een van de diagonalen. de andere dan . ook: evt: t(i-1)beeld van (-1,1) tot (1,-1), de andere diagonaal.
invullen in geeft

en
. met -1≤t≤1
geeft: kromme[(t+3)^2-(t+1)^2,2(t+1)^2,t,-1,1]

De andere diagonaal: geeft de volgende w:
geeft

en
. met -1≤t≤1
geeft: kromme[(t+3)^2-(t-1)^2,2(t-1)^2,t,-1,1]
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 30 jan 2010, 17:33

Als dit alles is wat ik moet weten, en ik het voldoende heb uitgewerkt, begrijp ik het nu.
SafeX, bedankt voor alle hulp en geduld, je was weer heel duidelijk!!
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 31 jan 2010, 15:35

daco schreef:Als dit alles is wat ik moet weten, en ik het voldoende heb uitgewerkt, begrijp ik het nu.
SafeX, bedankt voor alle hulp en geduld, je was weer heel duidelijk!!
Ik heb even niet in de gaten gehad dat je geantwoord had, vrijdag en zaterdag.
Een opmerking: z=x-y of z=x+y kan niet want dan is z reëel en jij bedoelt z is complex.

Heb je een nette tekening in Geogebra gekregen?
Onder welke hoek snijden de rooster-lijnen van het beeld van het vierkant (in 't z-vlak) elkaar? Is dat niet opvallend?
Als je de afmetingen van de vierkantjes in het z-vlak vergelijkt met hun beeld in 't w-vlak, valt je dan iets op.

We hebben nu gezien hoe je een (beperkt) beeld kan krijgen van complexe grafieken en hoe je daarmee te werk gaat. En Geogebra maakt daarvan mooie beelden.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 01 feb 2010, 10:16

O, y is de complexe as, dus dan en . Dan op dezelfde manier invullen in, maar dan kom je toch wel hetzelfde uit daarna, en zat er een fout in mijn vorige uitwerking. In het z-vlak snijden de roosterlijnen elkaar onder 90 graden, ik heb nog niet getekend in geogebra, maar ik verwacht dat ze daar ook onder 90 graden snijden; de vervorming is hoe dichterbij de snijpunten tussen de roosterlijnen zo klein dat hij 90 graden wordt. Ik weet alleen niet hoe je in geogebra hoeken meet en lengte van een lijnstuk, dus over lengt kan ik alleen zeggen dat in w de lijntjes langer worden.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 01 feb 2010, 10:34

daco schreef:O, y is de complexe as, dus dan en
en zat er een fout in mijn vorige uitwerking.
Ja, v(t) is bij beide fout ga dat na. Kennelijk heb je deze beelden niet getekend anders ...

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 01 feb 2010, 21:38

Klopt, ik heb de krommen net pas getekend, en het worden geen diagonalen van het vierkant. maar wat is er dan fout aan de formules voor het z-vlak; voor de diagonalen moet het beeld van (-1,-1) naar (1,1) gaan en voor een diagonaal het beeld van (-1,1) naar (1,-1). Bij een horizontale lijn geldt: x+ib; x is variabel en a is constant. bij een verticale lijn geldt: a+iy. y is variabel en a is constant. De diagonalen zijn schuin; x en y moeten wel variabel zijn. Je gaf: "Eén van de diagonalen is y=x stel nu x=t dan is y=... en bepaal het beeld van z=t+i ... ." Ik dacht: diagonaal: z=x+iy, en z=x-iy, x=t, dan ook y=t. en dan invullen in w. Wat is er verkeerd aan de redenatie?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 01 feb 2010, 21:52

daco schreef:Klopt, ik heb de krommen net pas getekend, en het worden geen diagonalen van het vierkant. maar wat is er dan fout aan de formules voor het z-vlak; voor de diagonalen moet het beeld van (-1,-1) naar (1,1) gaan en voor een diagonaal het beeld van (-1,1) naar (1,-1). Bij een horizontale lijn geldt: x+ib; x is variabel en a is constant. bij een verticale lijn geldt: a+iy. y is variabel en a is constant. De diagonalen zijn schuin; x en y moeten wel variabel zijn. Je gaf: "Eén van de diagonalen is y=x stel nu x=t dan is y=... en bepaal het beeld van z=t+i ... ." Ik dacht: diagonaal: z=x+iy, en z=x-iy, x=t, dan ook y=t. en dan invullen in w. Wat is er verkeerd aan de redenatie?
z=x+iy is algemeen, als x en y onafhankelijk gekozen kunnen worden.
Je wilt nu: x(t)= t en y(t)=t, dus (zoals je al vond): z=t+it en ook z=t-it
Je hebt hiermee w(t) berekend dat geeft u(t) en die was goed maar v(t) niet.
Het beeld moet echt ook (gekromde) diagonalen opleveren.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 01 feb 2010, 23:05

Dus de redenatie was wel goed, maar er zit een fout in het algebraïsch uitrekenen van v(t)? Ik ging er inderdaad al vanuit dat de formule die ik vond de diagonalen zou geven, en door de hoeken van de vierkanten waar de diagonaal doorheen gaat, ik had ze alleen niet in Geogebra getekend
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 01 feb 2010, 23:17

Ik heb inmiddels de krommen, ook mooi in Geogebra, en gezien wat ik fout deed:
Kromme[(t + 3)² - (t - 1)², 2 (t - 1) (t + 3), t, -1, 1] en
Kromme[(t + 3)² - (t + 1)², -2 (t + 1) (t + 3), t, -1, 1]
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 02 feb 2010, 09:54

En onder welke hoek snijden de diagonalen elkaar en de roosterlijnen. Verrast?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 02 feb 2010, 17:23

De diagonalen snijden onder een hoek van 90 graden, en de roosterlijnen onder een hoek van 45 graden (te vinden door raaklijnen door het snijpunt te tekenen) Dat verbaast me niet. In het z-vlak waren de hoeken al 90 en 45 graden (vierkant met bissectrice). De vorm is anders, maar die verandering is "oneindig dichtbij" het snijpunt zo klein dat die hoek hetzelfde blijft.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie