ontbinden in factoren

[David]

Hallo allemaal,

Als je x^2+6x+10 wilt ontbinden in factoren, kan een antwoord zijn: dat is lastig, want als je dat wilt, moet de grafiek de x-as snijden. Geld dan ook als je de haakjes wegwerkt bij
(x+3-i)^2, je de grafiek niet kan tekenen? haakjes wegwerken levert
x^2+3x+3x-ix-ix+9-3i-3i+1=x^2+6x+10-2ix-6i. Dan stuit je op het volgende: het getal i is imaginair, en kan dus niet worden weergegeven in een assenstelsel met x-- en y-as. Maar wat doe je dan met x^2+6x+10? geldt dat wel als formule dan of mag je die ook niet zo gebruiken omdat er ook een gedeelte bij was dat niet in een assenstelsel kan?

[SafeX]

Los je op in R (reële getallen) of in C (complexe getallen)?

[David]

De definitie van complece en reeële getallen weet ik niet goed, ik dacht, reeële getallen zijn getallen die je kan splitsen in breuken, positief en negatief kunnen zijn. complex, extra "bovenop" reeële getallen is dat ze niet hoeven te worden gesplitst in breuken, zoals "π" en "e" of is dit niet juist. Dan maakt het toch niet uit of je in R of in C oplost in dit geval? Zo wel denk ik dat ik in R oplos.

[ti-wereld.nl]

rationele getallen zijn getallen die je als een breuk kunt schrijven

[David]

O nee dan complexe getallen, getallen die overeenkomen als een punt in een vlak. (http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_getallen)
(reeële getallen zijn dan positieve en negatieve getallen) http://nl.wikipedia.org/wiki/Getallenlijn.
Dank je, ti-wereld.nl, voor de opmerking

[SafeX]

@daco
Volg je een opleiding?

Ik neem aan dat je in R oplost, dat zijn alle getallen op een getallenlijn zoals de x-as en de y-as.
De functie die je geeft is een dalparabool: f(x)=x²+6x+10=(x+3)²+1 met minimum 1 voor x=-3
of min f(x)=f(-3)=1 is
De verg die je krijgt door 0 te stellen, is dan niet oplosbaar of 'netter': heeft geen oplossings-verzameling.
Dat kan je nu wel verklaren?

[David]

Hallo SafeX,

Ja, ik volg een opleiding, psychologie. Daar komt (tot nu toe) haast geen wiskunde in voor. Dat heb ik wel gehad. Dat x^2+6x+10=0 geen oplossing heeft was me duidelijk, ik vroeg me alleen af hoe je (x+3-i)^2 in een R-assenstelsel zet als dat kan en zo ja, hoe. Nu lijkt me duidelijk dat je dat niet zo kan doen, omdat er imaginaire getallen inzitten, en dat kan niet in een reeël assenstelsel, de figuur van f(x)=x^2+6x+10 snijdt niet de x-as en heeft dus voor f(x)=0 geen oplossing. Dat is ook te zien aan de discriminant, te vinden met D=b^2-4ac. D=discriminant, a is coëfficiënt de voor x^2, b is de coëfficiënt voor x en c is "het losse getal, de waarde bij f(0). hier: a=1, b=6 en c=10. Dus D=6^2-4*1*10=-4. Er geldt: als D<0, dan geen snp. met x-as, ofwel f(x) is nergens 0, er is geen x waarvoor f(x)=0. Als D=0, dan 1 snp. met x-as, ofwel f(x) is een keer 0, er is een x waarvoor f(x)=0. Als D>0, dan 2 snp. met x-as, ofwel f(x) is 2 keer 0, er zijn twee waarden x waarvoor f(x)=0. (De functie is een dalparabool omdat a>0) Dus is x^2+6x+10 niet te ontbinden in factoren

[SafeX]

Goed, als je niets met complexe getallen gedaan hebt is het niet eenvoudig daar iets van te zeggen ivm met je vb. In 't algemeen kan je zeggen dat complexe functies niet in (zelfs) 3D te tekenen zijn.
Overigens is (x+3-i)² niet hetzelfde als je functie.

[David]

Hallo SafeX,

(x+3-i)^2≠x^2+6x+10, maar x^2+6x+10-2ix-6i. je mag je termen met "i" dus niet verwaarlozen/0 stellen omdat ze niet in een (reeël) assenstelsel kunnen worden weergegeven. Daar doelde ik een beetje op, of dat kon/mocht. Wat zou ik dan met complexe getallen kunnen doen?

[SafeX]

Nu begrijp ik dit niet meer: x²+6x+10=(x+3)²+1=(x+3)²-i²=(x+3-i)(x+3+i) ongelijk aan (x+3-i)². Die laatste vorm heb je goed uitgewerkt. Hoe eigenlijk? Doe je dat uit het hoofd of gebruik je nog papier?

En wil je iets met complexe getallen doen, dat kan natuurlijk altijd. Maar is dat interesse of heb je het nodig?

[David]

Hallo SafeX,

Ik heb de laatste op papier gedaan om fouten te voorkomen. Lijkt me gewenst die hier zo min mogelijk te maken. Alles wat ik hier tot nu toe doe is interesse. Kan zijn dat ik in een paar weken over statistiek vragen ga stellen, maar dat is nu niet aan de orde. wat je hier zegt: "(x+3)²-i²=(x+3-i)(x+3+i)" is niet juist toch? Wat begrijp je daar niet aan? (x+3-i)^2≠x^2+6x+10, maar x^2+6x+10-2ix-6i. Misschien dat je dit stuk uit een post bedoelt? Daarmee wil ik ook zeggen: (x+3-i)^2=x^2+6x+10-2ix-6i

[SafeX]

a²-b²=(a-b)(a+b), neem a=x+3 en b=i. Wat krijg je dan?
Verder vraag je maar.

[David]

(x+3)^2-i^2=x^2+6x+9--1=x^2+6x+9+1=x^2+6x+10. Dank je. Maar is het een "probleem" dat ik dit uit intresse doe en niet "nodig" heb? Op http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_getallen staat een assenstelsel, met op de verticale as boven i en onder -i. op de horizontale as links -1 en rechts 1. vanaf verticaal bovenaan op de assen tegen de klok in dus i^1,i^2, i^3, i^4. een getal als 5+3i weergeven is dan dus 5 naar rechts en 3 omhoog. Maar als je een functie wilt weergeven, hoe geef je dan weer om welke x het ging, die lijkt wel alleen maar de y-as, zoals in een reeël assenstelsel voorkomt, dus zonder x-as, of zie ik dat verkeerd?

[SafeX]

Ja, voor C hebben we het complexe vlak nodig. De x-as is de reële as en de y-as de imaginaire. Elk complex getal is dus een punt in dit vlak en omgekeerd stelt een punt een complex getal voor. Dus als we een functie bekijken bv w=z² dan is w weer een complex getal en hebben we dus weer twee assen nodig. En zo bekijken we dus ook grafieken op de volgende manier:
In het z-vlak (x- en y-as) bekijken we een 'baan' bv een lijn of een cirkel.
En in 't w-vlak (u- en v-as) bekijken we het beeld van die baan in het z-vlak.
We kunnen dus niet de grafiek van het hele z-vlak bekijken want daarvoor zijn 4 assen nodig, dat s dan een 4D plaatje.
Je noemde i, i², i³ enz die liggen op de eenheidscirkel, een veel gebruikte baan in 't z-vlak.

[David]

Ik heb van de functie (x+3-i)^2 de punten voor natuurlijke x-waarden met -5≤x≤5 in een complex vlak. de vorm (als je de rest van de punten extrapoleert) lijkt (als je de as met reële verplaatsing/getallen als x-as en de as met de imaginaire/complexe verplaatsing/getallen als y-as zou zien) de grafiek van y=(4x-4)^0.5 en y=-(4x-4)^0.5. Uit zo´n grafiek kan je alleen niet halen welke x je hebt ingevuld. Het had ook (x+a-i)^2 kunnen zijn, je kan ook niet uitvinden welke waarde a had als je de x niet weet. Eigenlijk alleen uitkomsten in een 2D complex vlak, geen invoer. Wordt dat zo gebruikt ergens?