ontbinden in factoren

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 10 jan 2010, 16:41

Waarom loopt de parabool niet door? Is er een beperking aan t?

In welk vlak ligt je vierkant? en wat is het beeld in w-vlak?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 16 jan 2010, 10:58

Ik weet niet of er een beperking is aan T. Ik heb hem in de GR getekend, en vond dit. Ik heb geprobeerd om de formule x1t=16-(T-1)^2 om te schrijven naar T=.. . Dan kom ik uit op T=1+(16-x)^0.5. dan geldt: x≥16.
voor y1t=8(T-1), T= 1+y/8. stel die 2 vergelijkingen T=... gelijk, dan x=16-y^2/64, y=8(16-x)^0.5
Eerder zagen we deze vergelijkingen: x=(z+z*)/2 en y=(z-z*)/2i=-i(z-z*)/2. substitueren levert:
(z+z*)/2= 16-((z-z*)/2i)^2 / 64 = 16-((z-z*)/16i)^2 = 16 + (z^2-2(x^2+y^2)+z*^2)/256
((z-z*)^2 heeft een term -2(z.z*) z.z*=x^2+y^2. (zie post van 27 Dec 2009, 13:56)).
Klopt dit zover of zit ik op het verkeerde spoor?

Volgens mij ligt het vierkant in het z-vlak, daar kijk je naar de baan van een lijn of een cirkel.
in het w-vlak kijk je naar het beeld van de baan in het z-vlak. Daar is dan toch ook een vierkant?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 16 jan 2010, 21:18

In t z-vlak moet je de volgende lijnen tekenen:
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1, dit wordt een vierkant met roosterlijnen .5.
In 't w-vlak de beelden met -1<=t<=1, dit wordt een verrassing.
daco schreef:Ik weet niet of er een beperking is aan T. Ik heb hem in de GR getekend, en vond dit. Ik heb geprobeerd om de formule x1t=16-(T-1)^2 om te schrijven naar T=.. . Dan kom ik uit op T=1+(16-x)^0.5. dan geldt: x≥16.
Niet omschrijven naar T, dan creëer je een beperking.
daco schreef:Eerder zagen we deze vergelijkingen: x=(z+z*)/2 en y=(z-z*)/2i=-i(z-z*)/2. substitueren levert:
(z+z*)/2= 16-((z-z*)/2i)^2 / 64 = 16-((z-z*)/16i)^2 = 16 + (z^2-2(x^2+y^2)+z*^2)/256
((z-z*)^2 heeft een term -2(z.z*) z.z*=x^2+y^2. (zie post van 27 Dec 2009, 13:56)).
Klopt dit zover of zit ik op het verkeerde spoor?
Ook dit niet doen. We zijn bezig met tekenen.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 18 jan 2010, 22:08

Het vierkant dat je me laat tekenen lijkt me op de opgave die je me eerder gaf, Is er een verschil met de opgave nu, of heb ik iets onjuist gedaan?

w(z)=(z+3-i)². z=x+iy.
(x+iy+3-i)^2=x^2+6x+2xyi-2xi-6i+2y+10+6yi-y^2. (zie post van 24 Dec 2009, 23:55, lees voor a een x en voor b een y). Hierin is alleen geen variabele t, deze is denk ik mooier:

z=cos(t)+i sin(t) (27 Dec 2009, 14:24)
voor -1<t<1 in radialen geldt:
t=-1, z=0.540302305868139717400.....-i*0.8414709848078965066525.....
t=-0.5, z=0.8775825618903727161.....-i*0.4794255386042030002732.....

Dat zijn niet de meest ideale getallen om mee te werken, klopt dit zo ver?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 18 jan 2010, 23:09

Nee, het is niet anders, maar het gaat om lijnstukken te tekenen zodat je een vierkant krijgt. Geen lijnen die ingesloten een vierkant bevatten.
De w-beelden van dit vierkant vormen geen vierkant meer, maar toch is er iets bijzonders ... , mits je met Zsquare werkt.

Even, teken je alles met de GRM of ook met de computer?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 19 jan 2010, 11:18

Is het juist als je zegt: de lijnen vormen 16 evengrote kleinere vierkantjes, samen een groot vierkant? Of zeg je daarmee ook dat ze ingesloten een vierkant bevatten?

Zsquare zit in de GRM toch? Ik heb het wel eens zien staan, die maakt het beeld vierkant? kan dat zijn?

Ik teken op dit moment met de hand, ik heb geen GRM tot mijn beschikking helaas, wat ik gisteren heb berekend is met het rekenmachientje dat bij de computer zit. Dat werkt niet zo makkelijk, vandaar het beknopte aantal waarden. Ik kan redelijk overweg met het programma geogebra (geogebra.org), dat met dat programma kan je een formule invoeren en dan tekent hij dat, alleen in een GRM (voor mij TI-84) kan je ook waarden bij een x (of hier dan t) laten berekenen, maar die heb ik hier niet.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 19 jan 2010, 15:14

In Geogebra kan je ook parameterkrommen tekenen. Zoek dat met de help-functie eens op. Zorg voor gelijke eenheden langs de assen. Dat doet Zsquare ook!

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 22 jan 2010, 08:36

Hallo SafeX,

Ik heb het in Geogebra geprobeerd, in de help kon ik het niet goed vinden, dus ik in een forum over geogebra gekeken. Daar stond dat je gebruik kom maken van de functie kromme. ik kreeg een foutmelding op de invoer. Het programma gaf bij kromme[2x] de fout: kromme[<uitdrukking>,<uitdrukking>,<variable>,<van>,<tot>]. Na wat proberen heb ik kromme[2x,3y,x,-1,1]. Alleen dan moest ik een ander lid van de vergelijking uitvoeren. Ik zou niet goed weten welke. Klopt het dat ik hiermee kromme moet gebruiken? Ik kan het ook in een GRM proberen, dat wordt zaterdag. w(z)=(z+3-i)² z=cos(t)+i sin(t) w(z)=(cos(t)+i sin(t)+3-i)². Ik zou dan dit invoeren: x1t=3+cos(t), y1t=sin(t)-1.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 22 jan 2010, 14:13

Ik heb zelf even gekeken: het is te vinden in menu help, contents, 4.3.13 Parameterkrommen.
daco schreef: w(z)=(z+3-i)²; z=cos(t)+i sin(t); w(t)=(cos(t)+i sin(t)+3-i)²
w(t)=u(t)+i v(t)=(cos(t)+3)²-(sin(t)-1)²+i 2(cos(t)+3)(sin(t)-1),
dus: u(t)(=x1T)=(cos(t)+3)²-(sin(t)-1)² en v(t)(=y1T)=2(cos(t)+3)(sin(t)-1)

Maar waar het nu ook om gaat is de transformatie van de eenheidscirkel met het omgeschreven vierkant en de roosterlijnen op afstand 1/2 binnen het vierkant in het z-vlak naar het w-vlak.

Vraag: Is het beeld van |z|=1 weer een cirkel?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 22 jan 2010, 19:53

Ik heb w(t) ingevoerd, gelijke assen op de x-as en de y-as. Dat lijkt op een cirkel maar is het niet helemaal, het is een ellips die met de "spitse" kant scheef rechts omhoog staat. Ik heb een vergelijking met een andere cirkel gemaakt, je kan een cirkel maken in de tekenbalk (als dat zo heet) en die komt niet heel mooi samen met de figuur voor w(t). In geogebra kan je niet met i werken, als ik een functie als
kromme[(-1+i*t+3-i)^2,(t-i+3-i)^2,t,-10,10] invoer, geeft hij: "foutief argument: complex getal" Ik geloof dat dat je laatste vraag zou moeten beantwoorden.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 22 jan 2010, 23:56

Ok, je hebt dus een beeld in 't w-vlak kunnen tekenen.
Controleer dat eens (bv) z=i geeft w=...
daco schreef: In geogebra kan je niet met i werken, als ik een functie als
kromme[(-1+i*t+3-i)^2,(t-i+3-i)^2,t,-10,10] invoer, geeft hij: "foutief argument: complex getal" Ik geloof dat dat je laatste vraag zou moeten beantwoorden.
Dit begrijp ik niet, zie boven. Natuurlijk kan je niet met i werken.

Kijk naar vorige antwoorden en zet ze eens op een 'rijtje'.

Geogebra: ga naar bovenstaande afbeelding.
Voer in: l1=Kromme[(t+3)²-4,-4(t+3),t,-1,1] Waarvan is dit het beeld?
Geef commentaar

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 23 jan 2010, 12:07

Het rijtje:
z=x+i y en z*= x-i y, |z|=z maal z*=x²+y²
x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t)
u=16-(y-1)² en v=8(y-1)
w(z)=(z+3-i)². z=x+iy.
Ik wist niet goed hoe je met de i moest omgaan in de formule. Gewoon weglaten leek me niet juist, vandaar de opmerking.

z=i geeft w=(i+3-i)^2=3^2=9.

In geogebra: Kromme[(t+3)²-4,-4(t+3),t,-1,1]
is het beeld van w met het vierkant, hij gaat van -1 tot 1, het is deel van een wortelgrafiek, domein op de x-as [0,12], bereik: [8,16].
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 23 jan 2010, 13:08

Aan zo'n rijtje heb je niet veel.
Het gaat om de combinatie van vraag en antwoord.
daco schreef: In geogebra: Kromme[(t+3)²-4,-4(t+3),t,-1,1]
is het beeld van w met het vierkant, hij gaat van -1 tot 1, het is deel van een wortelgrafiek, domein op de x-as [0,12], bereik: [8,16].
De kromme is beeld van het lijnstuk z=x-i in het z-vlak tussen (-1,-1) en (1,-1). Laat dat zien.
Deze kromme raakt aan het beeld van |z|=1, in welk punt? En dit is weer beeld van welk punt in 't z-vlak?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: ontbinden in factoren

Bericht door David » 25 jan 2010, 21:33

Mijn excuses, ik raak het overzicht een beetje kwijt. De bedoeling is een beeld te geven van
w(z)=(z+3-i)². Alleen een grafiek met i erin kan niet, toch? Ik probeerde zo te redeneren: Dan zou ik de i in de vergelijking voor w "weg moeten halen", dat kan door een zet met 1i in te vullen. Bijv x+i. Maar je geeft dat x-i is ingevuld in w. Het beeld van w bestaat uit de u-as en de v-as. Voor u is de vergelijking: u=16-(y-1)²
en voor v: v=8(y-1). Verder weten we: y=|z|sin(t), dus v=8(|z|sin(t)-1) en zo ook u=16-(|z|sin(t)-1)^2. In geogebra geef je l1=kromme[(t+3)^2-4,-4(t-3),t,-1,1]. Dat lijkt me een beeld van u en v, eerste vergelijking=u, tweede=v. Maar hoe je van u en v in de vergelijkingen van de kromme l1?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ontbinden in factoren

Bericht door SafeX » 25 jan 2010, 23:32

daco schreef: Alleen een grafiek met i erin kan niet, toch?
Deze zin begrijp ik niet.

We hebben een z-vlak met reële (x) en imaginaire as (y) en een w-vlak met u en v.
We hebben een functie w=(z+3-i)².
We zoeken bij een z=x+iy het beeld w=u+iv.

We begonnen met de eenheidscirkel in het z-vlak, dus z=cos(t)+i sin(t) (klopt dit?)
Dus w=(cos(t)+i sin(t)+3-i)²=(cos(t)+3)+i(sin(t)-1))²
Werk dit kwadraat eens uit en bepaal u(t) en v(t).

Begin eens met een paar punten:
z=0=0+i 0 => w=
z=1+i 1=1+i =>
z=-1+i 1=-1+i
z=-1+i -1=-1-i
z=1+i-1=1-i

Plaats reactie