Bij een eenheidscirkel is de afstand tot het midden altijd 1. die afstand is te vinden met
dan zou gelden
dan kom ik uit op u(t)=
en v(t)=
We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). |z|=1 dus x=cos(t) en y=sin(t). invullen levert:
en
Klopt dit zover?
ontbinden in factoren
Re: ontbinden in factoren
O, dat zei ik omdat ik dacht dat we in Geogebra dan die formule moesten zien, met i, maar dat hoeft niet zo, de y-as is in Geogebra niet imaginair.
Bij een eenheidscirkel is de afstand tot het midden altijd 1. die afstand is te vinden met
. x=cos(t) en y=i*sin(t). maar voor afstand laat je de i weg, klopt dat?
dan zou gelden^2+\sin(t)^2=1)
. Dus het is een eenheidscirkel dan.
+i \sin(t)+3-i)^2=)
+3)+i(\sin(t)-1))^2=)
+6\cos(t)+9+2i(\sin(t)\cos(t)-\cos(t)+3\sin(t)-3)-1(\sin^2(t)+2sin(t)-1)=)
dan kom ik uit op u(t)=
+6cos(t)+9-\sin^2(t)+2sin(t)-1)
en v(t)=
*\cos(t)-2i\cos(t)+6i\sin(t)-6i)
We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). |z|=1 dus x=cos(t) en y=sin(t). invullen levert:
=x^2+6x+9-y^2+2y-1)
=
^2-(y-1)^2)
en
=2iyx-2ix+6iy-6i)
Klopt dit zover?
Bij een eenheidscirkel is de afstand tot het midden altijd 1. die afstand is te vinden met
dan zou gelden
dan kom ik uit op u(t)=
en v(t)=
We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). |z|=1 dus x=cos(t) en y=sin(t). invullen levert:
en
Klopt dit zover?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
w=u+i v
u(t)=(x+3)²-(y-1)² (dat is goed!)
dus v(t)=...
u(t)=(x+3)²-(y-1)² (dat is goed!)
dus v(t)=...
Re: ontbinden in factoren
Een punt (a,b) in 't complexe z-vlak kan geschreven worden als z=a+i b met a en b reëel.daco schreef:O, dat zei ik omdat ik dacht dat we in Geogebra dan die formule moesten zien, met i, maar dat hoeft niet zo, de y-as is in Geogebra niet imaginair.
Dus een punt heeft niets met i te maken.
In 't z-vlak is de x-as reëel en de y-as imaginair dat heeft niets met Geogebra te maken, alleen of je met een complex vlak te maken hebt of niet. (a,0) is z=a zuiver reëel en (0,b) is z=i b zuiver imaginair maar natuurlijk in het complexe vlak.
Nee dat klopt niet, de afstand van een (a,b) tot (0,0) is een lengte dus niet negatief en reëel en gedefinieerd volgens Pythagoras.daco schreef: Bij een eenheidscirkel is de afstand tot het midden altijd 1. die afstand is te vinden met
Dus: z=a+i b geeft modulus z, genoteerd:
Ga na dat: |z|²=z.z*.
Dit doe je niet handig:daco schreef:
(cos(t)+3)²-(sin(t)-1)²+i 2(cos(t)+3)(sin(t)-1)=u(t)-i v(t)
en je leest zo u(t) en v(t) af en je kan ze ook zo in Geogebra tekenen als de ptn (u,v).
(Let op de - tussen de kwadraten bij u. Dat komt door i²)
Re: ontbinden in factoren
z=x+i y en z*= x-i y. geldt hier x=a en y=b? dan kan je zo:
z*z_=(x+iy)(x-iy)=x²-ixy+ixy-i²y²=x²--1y²=x²+y².
afleiden de afstand van 0 tot a+ib=
dus
Als ik nu dit:
kromme[2yx-2x+6y-6,(x+3)^2-(y-1)^2,xy,-1,1]
invoer, geeft geogebra: voor ook een ander lid van de vergelijking in. Is het niet de bedoeling dat je y in x uitdrukt of andersom?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
Heb je begrepen wat ik in de vorige post deed en waarom dat gemakkelijker is?daco schreef:want w=u+iv. eventueel:
=(2x(y+1)+6(y-1)=(2x+6)(y+1)+12)
Prima!daco schreef: z=x+i y en z*= x-i y. geldt hier x=a en y=b? dan kan je zo:
z*z_=(x+iy)(x-iy)=x²-ixy+ixy-i²y²=x²--1y²=x²+y².
afleiden de afstand van 0 tot a+ib== |z|.
dus.
Waarom doe je dit, welke kromme wil je tekenen? Je schrijft xy als variabele, dit begrijp ik niet. Geogebra wel?daco schreef: Als ik nu dit:
kromme[2yx-2x+6y-6,(x+3)^2-(y-1)^2,xy,-1,1]
invoer, geeft geogebra: voor ook een ander lid van de vergelijking in. Is het niet de bedoeling dat je y in x uitdrukt of andersom?
x en y zijn onafhankelijke variabelen. In een kromme is er wel een verband tussen x en y maar dit is (vaak) veel te ingewikkeld om te achterhalen. Bovendien met welk doel?
Re: ontbinden in factoren
Fijn dat die uitwerking prima is, dank je voor de bevestiging. Ik wilde de functies invoeren in Geogebra, daarvoor had ik de goniometrische formules in y en x uitgedrukt. Geogebra kon daar niet mee werken. Een variabele t is inderdaad makkelijker. Wat je deed was volgens mij splitsen in termen met i als factor voor
v(t) en in termen zonder i als factor erin voor u(t). In Geogebra vul je in:
kromme[<uitdrukking>,<uitdrukking>,<variabele>,<van>,<tot>].
Is de eerste uitdrukking u(t), en de 2e v(t)?
Ik heb nu met goniometrische formules ingevoerd:
+3)²-(sin(t)-1)²,2(cos(t)+3)(sin(t)-1),t,-1,1])
Als de tweede uitdrukking positief is, dan ligt de figuur onder de x-as, en als de tweede uitdrukking negatief is, ligt de figuur boven de x-as. Je gaf: u(t)-iv(t), maakt dat uit voor de invoer of moet ik u(t) en v(t) überhaupt niet invoeren (op deze manier)?
edit: dit was ik vergeten erbij te zetten: de weergaven van tex voor de kromme laat vraagtekens zien, waarom weet ik niet. De vorm van de figuur is als t van -1 tot en met 1 loopt, de beschrijving is misschien wat wonderlijk, maar geen cirkel, eerder een stuk van de rand van een computermuis. Als ik t van -10 naar 10 laat lopen, wordt de figuur een gesloten figuur in de vorm van bijv. een aardappel.
v(t) en in termen zonder i als factor erin voor u(t). In Geogebra vul je in:
kromme[<uitdrukking>,<uitdrukking>,<variabele>,<van>,<tot>].
Is de eerste uitdrukking u(t), en de 2e v(t)?
Ik heb nu met goniometrische formules ingevoerd:
Als de tweede uitdrukking positief is, dan ligt de figuur onder de x-as, en als de tweede uitdrukking negatief is, ligt de figuur boven de x-as. Je gaf: u(t)-iv(t), maakt dat uit voor de invoer of moet ik u(t) en v(t) überhaupt niet invoeren (op deze manier)?
edit: dit was ik vergeten erbij te zetten: de weergaven van tex voor de kromme laat vraagtekens zien, waarom weet ik niet. De vorm van de figuur is als t van -1 tot en met 1 loopt, de beschrijving is misschien wat wonderlijk, maar geen cirkel, eerder een stuk van de rand van een computermuis. Als ik t van -10 naar 10 laat lopen, wordt de figuur een gesloten figuur in de vorm van bijv. een aardappel.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
@ LaTeX:
gebruik hierin geen speciale symbolen zoals ² , maar geef machten aan met het dakje:
a^2
of bij meer karakters met accolades:
a^{123}
gebruik hierin geen speciale symbolen zoals ² , maar geef machten aan met het dakje:
a^2
of bij meer karakters met accolades:
a^{123}
Re: ontbinden in factoren
Ok, dus: kromme[u(t),v(t),t,<van>,<tot>]daco schreef:kromme[<uitdrukking>,<uitdrukking>,<variabele>,<van>,<tot>].
Is de eerste uitdrukking u(t), en de 2e v(t)?
In dit geval wegens sin en cos laat je t lopen van 0 tot 2pi.
kromme[(cos(t)+3)^2-(sin(t)-1)^2,2(cos(t)+3)(sin(t)-1),t,0,2*pi]daco schreef:
Bekijk ook de punten, die ik je aangaf di 16/1/10, in 't w-vlak.
Re: ontbinden in factoren
@arie: mijn excuses, ik had copy/paste uit de post van SafeX gebruikt voor die formule.
We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). de punten die je gaf zijn:
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1
|z|=1, dus x=cos(t) en y=sin(t). met 0≤t≤2π.
voor die punten geldt:
cos(t)=-1, t=π. cos(t)=1, t=0
sin(t)=-1, t=1.5π. sin(t)=1. t=0.5π.
is het hier zo dat a=x en b=y zodat u(t)=(x+3)^2-(y-1)^2=x+y of zit ik zo verkeerd?
We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). de punten die je gaf zijn:
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1
|z|=1, dus x=cos(t) en y=sin(t). met 0≤t≤2π.
voor die punten geldt:
cos(t)=-1, t=π. cos(t)=1, t=0
sin(t)=-1, t=1.5π. sin(t)=1. t=0.5π.
is het hier zo dat a=x en b=y zodat u(t)=(x+3)^2-(y-1)^2=x+y of zit ik zo verkeerd?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
Hoe ziet dit er uit in 't z-vlak?daco schreef: We weten: x=|z|cos(t) en y=|z|sin(t). de punten die je gaf zijn:
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1
Nu geen sin en cos gebruiken maar gewoon t.
Bepaal dan w(t)=u(t)+i v(t)
Opm: nadat je ze in 't vlak getekend hebt, zie je dat dat geen ptn zijn.
Re: ontbinden in factoren
w(t)=u(t)+i v(t).
w(t)=(x+3)^2-(y-1)^2+i(2yx-2x+6y-6) (?). In geogebra zijn er 2 waarden voor z,
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1 en
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1.
Hoe moet ik met de waarden voor z invullen,
y omschrijven naar z met z=x+i y en z*= x-iy?
w(t)=(x+3)^2-(y-1)^2+i(2yx-2x+6y-6) (?). In geogebra zijn er 2 waarden voor z,
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1 en
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1.
Hoe moet ik met de waarden voor z invullen,
y omschrijven naar z met z=x+i y en z*= x-iy?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
Wat bedoel je hiermee?daco schreef:w(t)=u(t)+i v(t).
w(t)=(x+3)^2-(y-1)^2+i(2yx-2x+6y-6) (?). In geogebra zijn er 2 waarden voor z,
z=-1+i y met -1<=y<=1, tekenen 'met de hand' in het z-vlak. Beschrijf dat eens.daco schreef: z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=y<=1 en
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1.
Hoe moet ik met de waarden voor z invullen,
y omschrijven naar z met z=x+i y en z*= x-iy?
Re: ontbinden in factoren
Ik dacht dat de bedoeling was dat ik in geogebra de waarden die je gaf voor z in w(z) moest invullen
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -w=(z+3-i)².
en
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1. Dat zijn 2 waarden voor z
Met de hand zou dat denk ik 10 figuren opleveren;
dat zou zijn: w=(z+3-i)².
met z=-1+iy .... 1+iy en, -1≤y≤1 (5 figuren)
en z=x-i .... x+i met -1≤x≤1 (5 figuren)
Werkt het zo?
z=a+iy, a=-1, -.5, 0, .5, 1 en -w=(z+3-i)².
en
z=x+ib, b=-1, -.5, 0, .5, 1 en -1<=x<=1. Dat zijn 2 waarden voor z
Met de hand zou dat denk ik 10 figuren opleveren;
dat zou zijn: w=(z+3-i)².
met z=-1+iy .... 1+iy en, -1≤y≤1 (5 figuren)
en z=x-i .... x+i met -1≤x≤1 (5 figuren)
Werkt het zo?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: ontbinden in factoren
Ik neem: z=-1+i y met -1<=y<=1.
In 't z-vlak krijgen we een lijnstuk lopend van (-1,-1) tot (-1,1)
In 't w-vlak; w=(-1+i.t+3-i)²=(2+i(t-1))²=2²-(t-1)²+i 2*2(t-1)=u(t)+i v(t). Dus
u(t)=4-(t-1)² en v(t)=4(t-1)
Geogebra: Kromme[4-(t-1)²,4(t-1),t,-1,1]
Nu jij verder. Geef commentaar.
In 't z-vlak krijgen we een lijnstuk lopend van (-1,-1) tot (-1,1)
In 't w-vlak; w=(-1+i.t+3-i)²=(2+i(t-1))²=2²-(t-1)²+i 2*2(t-1)=u(t)+i v(t). Dus
u(t)=4-(t-1)² en v(t)=4(t-1)
Geogebra: Kromme[4-(t-1)²,4(t-1),t,-1,1]
Nu jij verder. Geef commentaar.
Re: ontbinden in factoren
Voor het z-vlak: de coëfficiënt voor i geeft aan hoever waar de lijn op de y-as staat. Het losse getal geeft de plaats op de x-as. Je gaf al: z=-1+i y met -1<=y<=1. Dat is een verticale lijn, want er is alleen verplaatsing op de y-as.
Voor al deze z: -1≤y≤1.
Er is een verticale lijn, het getal voor de komma is constant.
z=-0,5+iy. Het beeld is van (-0,5;-1) tot (-0,5;1)
z=0+iy. Het beeld is van (0,-1) tot (0,1)
z=0,5+iy. Het beeld is van (0,5;-1) tot (0,5;1)
z=1+iy. Het beeld is van (1,-1) tot (1,1)
Voor de volgende z=x+ib, -1≤x≤1. Een horizontaal lijnstuk; alleen verplaatsing over de x-as, de waarde voor y is constant
z=x-i. Het beeld is van (-1,-1) tot (1,-1)
z=x-0,5i. Het beeld is van (-1;-0,5) tot (1;-0,5)
z=x-0i. Het beeld is van (-1,0) tot (1,0)
z=x+0,5. Het beeld is van (-1;0,5) tot (1;0,5)
z=x+1. Het beeld is van (-1,1) tot (1,1)
Voor het beeld in het w-vlak:
algemeen:
=(z+3-i)^2)
z=a+iy V z=x+ib.
=(a+iy+3-1)^2=(a+3+i(y-1))^2=)
^2-(y-1)^2+2i(a+3)(y-1))
.
=(a+3)^2-(y-1)^2 en v(t)=2i(a+3)(y-1))
.
In geogebra: voer in: kromme[u(t),v(t),t,-1,1] met y=t en de a is telkens anders, ik zet telkens deze gevonden u(t) en v(t) erin en stel a=-1, dan a=-0.5 etcetera.
Zelfde voor z=x+ib:
=(x+ib+3-i)^2=(x+3+i(b-1))^2=)
^2-(b-1)^2+2i(x+3)(b-1))
=(x+3)^2-(b-1)^2 en v(t)=2(x+3)(b-1))
In geogebra: voer in: kromme[u(t),v(t),t,-1,1] met x=t en de b is telkens anders, ik zet telkens deze gevonden u(t) en v(t) erin en stel b=-1, dan b=-0.5 etcetera.
Ik post nog eens over het gevonden resultaat.
Voor al deze z: -1≤y≤1.
Er is een verticale lijn, het getal voor de komma is constant.
z=-0,5+iy. Het beeld is van (-0,5;-1) tot (-0,5;1)
z=0+iy. Het beeld is van (0,-1) tot (0,1)
z=0,5+iy. Het beeld is van (0,5;-1) tot (0,5;1)
z=1+iy. Het beeld is van (1,-1) tot (1,1)
Voor de volgende z=x+ib, -1≤x≤1. Een horizontaal lijnstuk; alleen verplaatsing over de x-as, de waarde voor y is constant
z=x-i. Het beeld is van (-1,-1) tot (1,-1)
z=x-0,5i. Het beeld is van (-1;-0,5) tot (1;-0,5)
z=x-0i. Het beeld is van (-1,0) tot (1,0)
z=x+0,5. Het beeld is van (-1;0,5) tot (1;0,5)
z=x+1. Het beeld is van (-1,1) tot (1,1)
Voor het beeld in het w-vlak:
algemeen:
In geogebra: voer in: kromme[u(t),v(t),t,-1,1] met y=t en de a is telkens anders, ik zet telkens deze gevonden u(t) en v(t) erin en stel a=-1, dan a=-0.5 etcetera.
Zelfde voor z=x+ib:
In geogebra: voer in: kromme[u(t),v(t),t,-1,1] met x=t en de b is telkens anders, ik zet telkens deze gevonden u(t) en v(t) erin en stel b=-1, dan b=-0.5 etcetera.
Ik post nog eens over het gevonden resultaat.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)