ontbinden in factoren

[David]

Ik heb een aantal waarden voor z berekend (t in graden) z=cos(t)+i sin(t).
t=0, z= cos(0)+i sin(0)=1+0i
t=30 z= cos(30)+i sin(30)=0.5√3+0.5i
t=45 z= cos(45)+i sin(45)=0.5√2+0.5i√2 (evt (i+1)(0.5√2))
t=60 z= cos(60)+i sin(60)=0.5+0.5i√3
t=90 z= cos(90)+i sin(90)=0+i.
Die punten lijken mij io een cirkel te liggen, allemaal 1 van de oorsprong af.


Ik ben niet zeker wat z voorstelt in het z-vlak, ik heb het als volgt proberen te redeneren
w(z)=(z+3-i)² z=1+i y
w(z)=(1+i y+3-i)²=(4+iy-i)²=16+4iy+4iy-4i-4i-y²+y+y-1=15+8iy-8i-y²+2y.
in a+bi, a=-y²+2y+15=-(y²-2y-15)=-(y-5)(y+3)
b=8iy-8i=8i(y-1)
Voor y de natuurlijke waarden van 1 t/m 5:
y=1 w=16+0i,
y=2 w=15+8i
y=3 w=12+16i
y=4 w=7+24i
y=5 w=32i
De figuur lijkt op een wortelgrafiek. Betekent dat iets voor z in het z-vlak

[SafeX]

Ik heb een aantal waarden voor z berekend (t in graden) z=cos(t)+i sin(t).
t=0, z= cos(0)+i sin(0)=1+0i
t=30 z= cos(30)+i sin(30)=0.5√3+0.5i
t=45 z= cos(45)+i sin(45)=0.5√2+0.5i√2 (evt (i+1)(0.5√2))
t=60 z= cos(60)+i sin(60)=0.5+0.5i√3
t=90 z= cos(90)+i sin(90)=0+i.
Die punten lijken mij io een cirkel te liggen, allemaal 1 van de oorsprong af.

Dat klopt, maar wat wordt w=(z+3-i)²

Ik ben niet zeker wat z voorstelt in het z-vlak, ik heb het als volgt proberen te redeneren
w(z)=(z+3-i)² z=1+i y
w(z)=(1+i y+3-i)²=(4+iy-i)²=16+4iy+4iy-4i-4i-y²+y+y-1=15+8iy-8i-y²+2y.
in a+bi, a=-y²+2y+15=-(y²-2y-15)=-(y-5)(y+3)
b=8iy-8i=8i(y-1)
Voor y de natuurlijke waarden van 1 t/m 5:
y=1 w=16+0i,
y=2 w=15+8i
y=3 w=12+16i
y=4 w=7+24i
y=5 w=32i
De figuur lijkt op een wortelgrafiek. Betekent dat iets voor z in het z-vlak

Let op: w=(1+i y+3-i)²=(4+i(y-1))²=16-(y-1)²+i 8(y-1)=u+i v,
dus: u=16-(y-1)² en v=8(y-1)
Je berekende w-waarden zijn dus goed.
Maar wat hebben we in 't z-vlak?
Het wordt tijd om dit te gaan tekenen. Hoe, doe een voorstel.

[David]

Ik denk dat de punten die ik heb gevonden bruikbaar zijn, de formules die jij geeft, leveren dezelfde grafiek alleen zijn anders geformuleerd, immers:
16-(y-1)²=16-y^2+2y-1=-(y^2-2y-15)=-(y-5)(y+3) en
i 8(y-1)=8i(y-1).

Verder kunnen we beter met jou formules aan de slag. om te tekenen zou je evt. kunnen delen door y-1, lastig evt wordt dan de term 16/(y-1). Wat ik op dit moment zou voorstellen is wat waarden voor y kiezen en aan de hand daarvan tekenen. evt.vi/u, maar hoe dat zou uitzien weet ik niet.

[SafeX]

Eén vraag nog niet beantwoord.
Je moet u en v tekenen mbv parameterkromme.

[David]

Ik heb hem in een GR gezet: x1t=16-(T-1)^2 en y1t=8(T-1). daar zie ik een figuur die lijkt op een deel van een gekantelde parabool, met een paar "uitersten" van T=-40, x=-1665, y=-328, (T=0, x=15, y=-8) T=10, x=-65, y=72. Tot nu toe wist ik niet goed wat een parameterkromme was, zoiezo niet waarvoor hij werd gebruikt. Het werkt volgens mij zo: je kiest een waarde voor T, vult hem in in x1t en y1t, je krijgt voor die T een x-waarde van de coördinaat en een y-waarde van de coördinaat en je krijgt een coördinaat. T heeft een domein, -40≤T≤10 (in de GR), levert een domein -1665≤x≤15 en -328≤y≤72. Ik weet het vanaf hier niet goed hoe je de domeinen algebraïsch kan vinden. misschien een aantal translaties op x1t zodat x1t'=x.
Dat zouden dan de volgende translaties zijn (hoop dat ik ze goed formuleer) t:-16, t:*-1, t:^0.5, t:+1.
In deze volgorde wordt x1t: 1+(-1*(16-(T-1)^2-16))^0.5=T. bij y1t, na t:-16, 8T-24. t:*-1, dan -8T+24. t^0.5, dan (-8T+24)^0.5, dan t:+1. 1+(-8T+24)^0.5. Alleen als je voor T, -40 invult, krijg je geen -328. Ik geloof dat ik niet op het juiste spoor zit, en wat z in het z-vlak voorstelt, in de grafiek lijkt het me op 2 wortelformules tegen elkaar

[SafeX]

Ik geloof dat ik niet op het juiste spoor zit, en wat z in het z-vlak voorstelt, in de grafiek lijkt het me op 2 wortelformules tegen elkaar

Wat hier staat begrijp ik niet, maar in 't z-vlak heb je een lijn, en die kan je op dezelfde wijze tekenen.
Het domein is deze lijn en het bereik is de getekende kromme in 't w-vlak.
Bekijk nu ook het beeld van de eenheidscirkel in 't z-vlak.

Probeer ook het beeld van de lijn door z=i evenwijdig aan de reële as te tekenen.

[David]

Hallo,

Het was weer even geleden...
wat ik bedoelde met in de grafiek lijkt het me op 2 wortelformules tegen elkaar, met de twee grootste waarden van T tegen elkaar aan. zoals bijv x^0.5 en -x^0.5 tegen elkaar lijken te liggen, omdat het punt (0,0) op allebei de grafieken ligt. daar "komen de grafieken elkaar alleen maar tegen" zie het als een stuk van een parabool op de kant.
Eerder vertelde je me (23 Dec 2009, 23:22): De x-as is de reële as
In het z-vlak (x- en y-as) bekijken we een 'baan' bv een lijn of een cirkel.
En in 't w-vlak (u- en v-as) bekijken we het beeld van die baan in het z-vlak.
In het z-vlak is een lijn, die ziet er dan volgens mij dus als z=a+bi uit
het domein was volgens mij van -40≤T≤10. voor x wordt dat dan met een bereik(?) van -1665≤x≤10 of moet je voor x de waarde bij T=10 kiezen, namelijk -1665≤x≤-65.
-328≤y≤72. levert y=8T-8 en x=-33.5T-325. Je was duidelijk, maar ik vind dit lastig, omdat ik niet weet welke stappen ik moet nemen of wat ik moet tekenen. over de lijn evenwijdig aan de reële as, dat de x-as is. een lijn door z=i evenwijdig aan de reële as is toch de lijn z=i?

[SafeX]

z=a+bi met a en b reëel, is een punt (a,b) in het z-vlak. Dus ook z=i (0,1) en z=-i (o,-1).
z=x+i is een lijn evenwijdig aan de reële as door z=i.
Wat is nu de lijn evenwijdig de imaginaire as in het z-vlak door z=-1?

De T-waarden (die je noemt) zijn me niet duidelijk.

Is het je gelukt om de 'banen' in 't w-vlak te tekenen?

Je moet deze plaatjes 'zien' als pogingen om inzicht te krijgen in complexe functies. In de trant van de grafiek in de reële analyse.

We hebben al gezien:
z=x+iy en z_=x-iy, wat volgt hieruit voor x en y uitgedrukt in z en z_

Opm: z_ gebruik ik hier voor z toegevoegd; ook wel z geconjugeerd. Ivm

in de algemene literatuur.
We kunnen bv zc als notatie gebruiken. Wat denk je?

[David]

Volgens mij is de lijn evenwijdig aan de imaginaire as is dan -1+xi, voor een waarde x=0 moet de waarde -1 zijn. Alleen de waarde voor i mag nog veranderen, anders is de lijn niet evenwijdig met de imaginaire as. de waarde van i kan veranderen door i te vermenigvuldigen met x, xi erbij optellen.
Ik heb in de GR de grafiek getekend : x1t=16-(T-1)^2 en y1t=8(T-1). dat leverde een grafiek. de x had een domein van T=-40, x=-1665, y=-328, (T=0, x=15, y=-8) T=10, x=-65 y=72. De T had als laagste waarde -40, zodat x=-1665 en y=-328. De grootste x is niet op dezelfde punten als de grootste T. De grootste T is 10, de grootste x is 15. 15 ligt op T=0 Vervolgens probeer ik met die waarden een functie voor y naar T en x naar T te schrijven, met de waarden uit de GR. Die lijnen heb ik gevonden. Ik weet niet of dit functie heeft. Ik denk dat de banen in het W-vlak de banen waren die de GR leverde, die heb ik kunnen vinden.
Wil geconjugeerd zeggen dat als het ware elkaars spiegelbeeld zijn? x uitgedrukt in z is dan een zogenaamde inverse functie (heet dat zo?) namelijk x=z-yi en x=z_+yi, yi=z_-x, y=(z_-x)/-i teller en noemer vermenigvuldigen met i levert: y=z_i-xi. Evenzo: z-x=iy. y=(z-x)/i
y=-zi+xi. Hoe zou ik hier zc moeten gebruiken? I.p.v z_, zc?

[SafeX]

Volgens mij is de lijn evenwijdig aan de imaginaire as is dan -1+xi,

Die verg is: z=-1+i y. ga dat nog eens na.

Ik heb in de GR de grafiek getekend : x1t=16-(T-1)^2 en y1t=8(T-1). dat leverde een grafiek. de x had een domein van T=-40, x=-1665, y=-328, (T=0, x=15, y=-8) T=10, x=-65 y=72. De T had als laagste waarde -40, zodat x=-1665 en y=-328. De grootste x is niet op dezelfde punten als de grootste T. De grootste T is 10, de grootste x is 15. 15 ligt op T=0 Vervolgens probeer ik met die waarden een functie voor y naar T en x naar T te schrijven, met de waarden uit de GR. Die lijnen heb ik gevonden. Ik weet niet of dit functie heeft. Ik denk dat de banen in het W-vlak de banen waren die de GR leverde, die heb ik kunnen vinden.

Ik weet niet wat je hier doet.
De kromme die je tekent ligt in het w-vlak, dus w=u+i v met u=x1T en v=y1T en is beeld van de lijn z=1+i y.

Wil geconjugeerd zeggen dat als het ware elkaars spiegelbeeld zijn? x uitgedrukt in z is dan een zogenaamde inverse functie (heet dat zo?) namelijk x=z-yi en x=z_+yi, yi=z_-x, y=(z_-x)/-i teller en noemer vermenigvuldigen met i levert: y=z_i-xi. Evenzo: z-x=iy. y=(z-x)/i
y=-zi+xi. Hoe zou ik hier zc moeten gebruiken? I.p.v z_, zc?

z en z_ zijn elkaars spiegelbeeld in de reële as. Ze zijn niet elkaars inverse.
z=x+i y
z_=x-i y,
x en y uitdrukken in z en z_.
Probeer het nog eens (dus bv y=(z-x)/i is niet goed, er staat nog een x rechts).

[David]

de coördinaten van de lijn evenwijdig aan de imaginaire as zijn (-1,yi) y is variabel, x niet. kies een waarde voor y en je vindt een punt op de lijn evenwijdig aan de imaginaire as. Dan zou het (eigenlijk is het, je geeft) z=-1+iy zijn.

Zijn de vergelijkingen die ik in de GR invoerde goed? Als ik die invoer zie ik geen beeld van de lijn z=1+iy.

z=z_+2iy. 2iy=z-z_. y=(z-z_)/2i evt -i(z-z_)/2
-z_=-x+iy. z=x+iy. -z_+2x=z. 2x=z+z_. x=(z+z_)/2
Bedoelde je het zo?

[SafeX]

de coördinaten van de lijn evenwijdig aan de imaginaire as zijn (-1,yi) y is variabel, x niet. kies een waarde voor y en je vindt een punt op de lijn evenwijdig aan de imaginaire as. Dan zou het (eigenlijk is het, je geeft) z=-1+iy zijn.

(-1,yi) kan niet. Punten hebben reële coördinaten. Dus (-1,y), lijn in z-vlak: z=-1+i y. (dat is Ok)

Zijn de vergelijkingen die ik in de GR invoerde goed? Als ik die invoer zie ik geen beeld van de lijn z=1+iy.

Ik weet niet wat je hebt ingevoerd: u=16-(y-1)² en v=8(1-y) een liggende parabool naar links top (16,0).

z=z_+2iy. 2iy=z-z_. y=(z-z_)/2i evt -i(z-z_)/2
-z_=-x+iy. z=x+iy. -z_+2x=z. 2x=z+z_. x=(z+z_)/2
Bedoelde je het zo?

Dit is goed:
x=(z+z_)/2 en y=(z-z-_)/2i=-i(z-z_)/2
Nu kan je bv de lijn y=2x-1 'vertalen' naar een verg in het z-vlak. Geef die verg.

Opm: Mijn voorstel is om z_ te vervangen door zc (je mag raden waarom). Ga je accoord?

[David]

Ik bedoelde met de coördinaten het complexe vlak, oorspronkelijk uit http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_getallen, uitgelegd in:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_vlak
Het imaginair deel is dus niet een y-as, of wel

x1t=16-(T-1)^2 en y1t=8(T-1) in GR in mode parameter. lees voor T een y. Alleen je geeft v=8(1-y),
De parabool die ik tekende had de top uiterst rechts op de zelfde coördinaten (16,0)

De lijn y=2x-1 in het z-vlak ziet er dan zo: -i(z-zc)/2=-2i(z+zc)/2-1. evt alles keer 2: -i(z-zc)=-2i(z-zc)-2,

zc in plaats van z_ omdat de c in z_ aangeeft dat het ook om complexe getallen gaat, de imaginaire as met i werkt, maar dat geldt ook voor z. misschien omdat het streepje er eigenlijk boven moet staan. Zoals je al kon zien, ga ik akkoord.

[SafeX]

Ik bedoelde met de coördinaten het complexe vlak, oorspronkelijk uit http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_getallen, uitgelegd in:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Complexe_vlak
Het imaginair deel is dus niet een y-as, of wel

De y-as is de imaginaire as in het z-vlak, v is de imaginaire as in 't w-vlak.

Opm: Laten we voor zc maar z* nemen in samenhang met Wikipedia.

x1t=16-(T-1)^2 en y1t=8(T-1) in GR in mode parameter. lees voor T een y. Alleen je geeft v=8(1-y),
De parabool die ik tekende had de top uiterst rechts op de zelfde coördinaten (16,0)

Het moet v=8(y-1) zijn (helaas niet gecheckt voor verzending). De grafiek klopt?

De lijn y=2x-1 in het z-vlak ziet er dan zo: -i(z-zc)/2=-2i(z+zc)/2-1. evt alles keer 2: -i(z-zc)=-2i(z-zc)-2,

zc in plaats van z_ omdat de c in z_ aangeeft dat het ook om complexe getallen gaat, de imaginaire as met i werkt, maar dat geldt ook voor z. misschien omdat het streepje er eigenlijk boven moet staan. Zoals je al kon zien, ga ik akkoord.

Helemaal goed, alleen herleiden naar z en z*.

Maak nu in één figuur de beelden van het vierkant:
z=1+i y
z=1/2+i y
z=i y
z=-1/2 +iy
z=-1+i y
met -1<=y<=1

z=x+i
z=x+i 1/2
z=x
z=x-i 1/2
z=x-i
met -1<=x<=1

[David]

Volgens mij klopt die grafiek, het is een deel van een liggende parabool, dwz: de parabool loopt niet helemaal door.
Ik heb het vierkant getekend, alle lijnen samen vormen 16 tegenelkaarstaande evengrote vierkanten, samen een groot vierkant met volgens mij de 5 verticale lijnen als a+iy en de 5 horizontale lijnen als x+bi.