juistheid formule

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

juistheid formule

Bericht door David » 28 dec 2009, 22:12

Hallo allemaal

Er geldt toch: Als je een stelling doet en er wordt een tegenvoorbeeld gevonden, is de stelling onjuist?
vb: (x-1)^2=x^2+1.
Dat is onjuist want als x=2, dan (x-1)^2=(2-1)^2=1^2=1,
x^2+1=2^2+1=5. 2≠5, dus (x-1)^2≠x^2+1. Dus stelling onjuist
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: juistheid formule

Bericht door arie » 28 dec 2009, 22:43

Klopt: 1 tegenvoorbeeld is voldoende om de onjuistheid van een stelling aan te tonen.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: juistheid formule

Bericht door David » 29 dec 2009, 00:54

Hoe is het dan voor de volgende stelling:
(x-1)^2≠x^2+1.
x=0. (0-1)^2=1. 0^2+1=1.
Dan kan je niet de conclusie trekken: (x-1)^2=x^2+1. Maar er is een tegenvoorbeeld voor x^2+1
Welke conclusie moet je hieruit trekken?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: juistheid formule

Bericht door arie » 29 dec 2009, 01:53

[1]

Er is een tegenvoorbeeld, dus de stelling is onjuist (ongeacht de voorbeelden waarvoor de stelling wel klopt).

Een stelling mag zelfs oneindig veel voorbeelden hebben waarvoor deze geldig is, maar als er daarnaast (ook al is het slechts) 1 tegenvoorbeeld is, is de stelling onjuist.

Bijvoorbeeld:

Stelling 2:
Voor alle reele x geldt: x² > 0

Stelling 2 geldt voor alle x ongelijk nul, dit zijn oneindig veel waarden (voor alle reele getallen ongelijk nul is de stelling waar).
Alleen voor x=0 geldt deze stelling niet. Dit is het enige tegenvoorbeeld, maar door dit tegenvoorbeeld is stelling 2 onjuist.

In het algemeen:
Om de juistheid van een stelling te bewijzen moet je aantonen dat een stelling altijd geldt, dus voor ALLE mogelijke gevallen.
Om de onjuistheid van een stelling aan te tonen heb je genoeg aan 1 tegenvoorbeeld. Dit tegenvoorbeeld hoeft overigens niet altijd even eenvoudig te vinden te zijn.


[2]

Als een stelling onjuist is, is het NIET zo dat het omgekeerde van die stelling wel juist is.
Hierboven hebben we aangetoond dat stellling 2 onjuist is, maar het omgekeerde hiervan:

Stelling 3:
Voor alle reele x geldt: x² <= 0

is ook onjuist (een tegenvoorbeeld voor stelling 3 is niet moeilijk te vinden).

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: juistheid formule

Bericht door David » 29 dec 2009, 10:08

x² > 0 is onjuist
en Voor alle reele x geldt: x² <= 0 is onjuist. zijn twee omgekeerde stellingen, allebei onjuist
(voor alle reeële x geldt): (x-1)^2≠x^2+1, en (voor alle reeële x geldt): (x-1)^2=x^2+1 zijn twee omgekeerde stellingen, toch zijn ze dus allebei onjuist.)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: juistheid formule

Bericht door arno » 29 dec 2009, 11:08

(x-1)² = x²+1 is geen identiteit, maar een gelijkheid, die alleen voor x = 0 een ware uitspraak oplevert. Als je het linkerlid uitschrijft krijg je namelijk x²-2x+1 = x²+1, dus -2x = 0, dus x = 0.
Daarentegen is (x-1)² = x²-2x+1 een identiteit, omdat deze uitspraak waar is voor alle x. Met behulp van kwantoren kun je het onderscheid als volgt aangeven: , dus voor alle reële waarden van x geldt: (x-1)² = x²-2x+1, dus dit is een universele uitspraak. Verder geldt: , dus er is een reële waarde van x waarvoor geldt: (x-1)² = x²+1, dus dit is een existentiële uitspraak.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: juistheid formule

Bericht door David » 29 dec 2009, 11:49

Dus een tegenvoorbeeld geven om een stelling te ontkrachten kan eigenlijk alleen als je een identiteit geeft. In een gelijkheid is een (eindig(?)) aantal oplossingen, alhoewel dat voor sin(x)=cos(x) er oneindig veel zijn
(sinx=sin(0.5π-x) 0.5π-x=x+2kπ 2x=0.5π+2kπ. x=0.25π+kπ met k als geheel pos. en neg getal). In ieder geval niet iedere x uit R. In een gelijkheid zeg je dan dus niet dat het voor elke x uit R geldt, maar voor minstens 1 x uit R. Een identiteit is niet juist als er een tegenvoorbeeld is. Ook als een oplossing maar in een van de twee identiteiten bestaat?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: juistheid formule

Bericht door arno » 29 dec 2009, 18:12

Een identiteit van de vorm A(x) = B(x) is een uitspraak die voor alle waarden van x juist is.
Als je wilt aantonen dat P(x) niet juist is probeer je een x te vinden waarvoor geldt. Immers: is gelijkwaardig met .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: juistheid formule

Bericht door David » 29 dec 2009, 18:37

samen met http://en.wikipedia.org/wiki/Math_symbols en je eerdere formules heb ik geprobeerd je laatst uitspraak te "vertalen". niet voor alle reële x geldt P(x) is gelijkwaardig aan er is een x waarvoor geldt P(x) is niet juist. Ik heb er al eerder overgepost, maar het lijkt me dat er nu een andere motivatie voor is.
stelling: 2x/x=2. hier geldt: er is een reële x waarvoor deze stelling niet geldt. Als je van een dergelijke formule niet uit kan gaan, worden (bepaalde takken van) wiskunde lastig. Of geldt hier nu niet:
1 tegenvoorbeeld is voldoende om de onjuistheid van een stelling aan te tonen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: juistheid formule

Bericht door arno » 30 dec 2009, 12:00

Als je x = 0 in invult levert dit: , wat echter niet juist is, omdat in principe alle waarden zou kunnen hebben. Als je echter stelt dat als x niet 0 is, is de stelling juist. Je zult dus, om van de juistheid van de stelling uit te kunnen gaan, expliciet moeten formuleren dat x geen 0 kan zijn.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Plaats reactie