Onbepaalde integraal

[SafeX]

Hier begrijp ik niets van!!!
Je hebt toch dit gevonden:

∫-1/8 dt, maar vraag me af of dit juist is.

Op zichzelf is dit een legitieme vraag die je je eigenlijk altijd moet stellen.
Laten we aannemen dat het tot zover juist is, wat is dan het antwoord?

Jouw reactie:

dx=-1/4 sin (t) dt
dt=(-4*dx)/sin(t)
∫-1/8 *(-4dx)/sin(t)
∫(1/2/sin(t))dx

Verklaar je probleem.

[naomi]

∫-1/8 dt, van deze functie dient de primitieve worden gevonden
Alleen staat er nog "dt", dus dacht dat eerst dt moest worden omgezet, omdat dx=-1/4 sin (t) dt en dan zou dt=(-4*dx)/sin(t). Waarschijnlijk gaat bij deze stap wat mis.

[SafeX]

Maar wat is dan:



enz.

[naomi]

Begrijp niet helemaal wat je bedoelt.

[SafeX]

Ik ben stomverbaasd.
Kan je deze integralen niet bepalen? Ga je boek of aantekeningen nog eens na.
Probeer het eens andersom
Wat is de afgeleide van;
f(x)=2x
f(t)=-3t+2
f(y)=-2x+=3y

[naomi]

De integraal van ∫2dx is 2x
en van ∫-4dy = -4y
∫adt
Zag alleen niet het verband met je opmerking en bij de oorspronkelijke opgave.
∫-1/8 dt = -1/8 t

[SafeX]

De integraal van ∫2dx is 2x
en van ∫-4dy = -4y
∫adt
Zag alleen niet het verband met je opmerking en bij de oorspronkelijke opgave.
∫-1/8 dt = -1/8 t

Maar ik hoop dat je het nu wel 'ziet'. Ik mis de laatste integraal.

We hebben nu: -1/8t+C (waarom is C belangrijk?).
We gaan de hele zaak nog eens na. Zou jij dat willen doen met alle stappen en geef commentaar daarbij.

We hebben oa zoiets als 4x=cos(t) gesteld met dx=-1/4sin(t)dt
Reden: we kregen √(1-cos²(t))=sin(t), daar moeten we nog even naar kijken want √a²=|a|
Waarom mogen we hier de absoluut-strepen weglaten?

Tenslotte hebben we als integraal een functie van t, maar we willen een functie van x.
Wat doen we daaraan? Doe een voorstel.

[naomi]

∫(1/(2(sqrt(1-cos^2(t)))))*-1/4*sin(t)dt
= ∫(1/2(sqrt(sin^2(t))))*-1/4*sin(t)dt
= ∫(1/2*sin(t))*-1/4*sin(t)dt
=1/2∫(1/sin(t))*-1/4sin(t)dt
=-1/8∫sin(t)/sin(t)dt
=-1/8∫dt --> vanaf hier loop ik vast.

dt=4dx/sin(t)

[SafeX]

Ik mis het begin en de substitutie van t

=-1/8∫dt --> vanaf hier loop ik vast.

En dit begrijp ik niet, want die heb je bepaald. (ga dat na)
En ik mis je commentaar, dat is wel belangrijk.

[arno]

Als f een gegeven functie is, dan wordt de primitieve F gedefinieerd door F'(x) = f(x). Met behulp van integralen geldt dan dat , wat we ook kunnen schrijven als . Welk voorschrift heeft f als je weet dat ?

[naomi]

∫1/(SQRT(4-64(x)^2))dx
∫(1/(8*sqrt(1/16-x^2)))dx -->Delen door 64 onder de wortel betekent een factor 8 voor de wortel.
substitutie x=1/4cos(t) en dx=-1/4sin(t)dt
∫(1/(8*sqrt(1/16-1/16cos^2(t))))*-1/4*sin(t)dt --> 1-cos^2(x)=sin^2(x)
∫(1/(2(sqrt(1-cos^2(t)))))*-1/4*sin(t)dt
= ∫(1/2(sqrt(sin^2(t))))*-1/4*sin(t)dt
= ∫(1/2*sin(t))*-1/4*sin(t)dt
=1/2∫(1/sin(t))*-1/4sin(t)dt
=-1/8∫sin(t)/sin(t)dt
=-1/8∫dt
=-1/8t + C
"Tenslotte hebben we als integraal een functie van t, maar we willen een functie van x"
Wat doen we daaraan?
--> x=1/4cos(t) --> t=(x*4/cos)
-1/8(x*4/cos)

[SafeX]

Al een stuk beter, maar je blijft karig met je commentaar. Waarom passen we die substitutie toe?
Van t terug naar x, x=1/4 cos(t) => cos(t)=...
En weet jij wat de inverse van de cos is?
Weet je die inverse te vinden op je GRM?

En nog iets:

We hebben nu: -1/8t+C (waarom is C belangrijk?).
We gaan de hele zaak nog eens na. Zou jij dat willen doen met alle stappen en geef commentaar daarbij.

We hebben oa zoiets als 4x=cos(t) gesteld met dx=-1/4sin(t)dt
Reden: we kregen √(1-cos²(t))=sin(t), daar moeten we nog even naar kijken want √a²=|a|
Waarom mogen we hier de absoluut-strepen weglaten?

Tenslotte hebben we als integraal een functie van t, maar we willen een functie van x.
Wat doen we daaraan? Doe een voorstel.

Je vergeet twee vragen.

[naomi]

Door de substitutie x=1/4cos(t) en dx=-1/4sin(t)dt, wordt de integraal makkelijker op te lossen. Dit komt doordat 1-cos^2(x) kan worden herschreven als sin^2(x) en hierdoor komen we uiteindelijk uit op
sin(t)/sin(t)dt.

Van t terug naar x, x=1/4 cos(t) => cos(t)=4x
De inverse van cos=cos^-1 oftewel arccos
We hebben nu: -1/8t+C (waarom is C belangrijk?). C=constante en is onderdeel van de primitieve. Waarschijnlijk is er nog een reden, maar die weet ik niet.
√a²=|a| --> er komt altijd een positief getal uit deze wortel, omdat er een kwadraat teken onder de wortel staat.

[SafeX]

Heel goed>
Dat bij het bepalen van een primitieve de integratie-constante nodig is betekent dat er oneindig veel primitieven zijn omdat deze allemaal dezelfde afgeleide bezitten.

√a²=|a| --> er komt altijd een positief getal uit deze wortel, omdat er een kwadraat teken onder de wortel staat.

Jawel maar wij schreven √sin²(t)=sin(t) zonder absoluut-strepen! Mag dat? Nee, niet zomaar. Dus ga na ...

Verder hebben we nu: cos(t)=4x => t=arccos(4x) en dat is de sleutel voor de uiteindelijke primitieve.
Heb je een arccos al leren differentiëren?

[naomi]

Moeten we de absoluut-strepen gebruiken, omdat de wortel niet negatief mag zijn?
Ben niet bekend met het differentiëren van arccos, maar heb wel de volgende formule gevonden.
arccos(x)= (-1)/(sqrt(1-x^2))