aantal oplossingen van vgl n_1+...+n_k = n

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
marijnschreuders
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 08 feb 2010, 15:34

aantal oplossingen van vgl n_1+...+n_k = n

Bericht door marijnschreuders » 08 feb 2010, 15:39

hallo

Ik heb een vraag over het aantal combinaties dat te maken is met de vergelijking
n_1 + n_2 + .... + n_k = n, wanneer aan n een waarde is toegekend.

voorbeeld (n=0, k=3)
n_1 + n_2 + n_3 = 0 --> dit levert 3 mogelijkheden (100, 010, 001)

Ik kom er echter niet uit wanneer n en k hogere waardes hebben. Ik heb gehoord dat ik iets met het
bynomium van Newton moet doen....?

bedankt.

Marijn

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: aantal oplossingen van vgl n_1+...+n_k = n

Bericht door arie » 08 feb 2010, 16:20

marijnschreuders schreef:voorbeeld (n=0, k=3)
n_1 + n_2 + n_3 = 0 --> dit levert 3 mogelijkheden (100, 010, 001)
Ik denk dat je hier bedoelt: n=1, dus n_1 + n_2 + n_3 = 1
Verder zal wsch moeten gelden: n_1 ... n_k allemaal gehele getallen >=0.

Je wilt dan weten op hoeveel manieren je n identieke objecten kan verdelen over k verschillende containers/bakjes.
De objecten kan je aangeven door symbool x, in totaal zijn dit dus n x-en.
De containers (n1, n2, ..., nk) kan je allemaal gescheiden zien door symbolen | (opstaand streepje):
n1 | n2 | n3 | .... | nk

Geef nu niet de naam van de container weer, maar alleen de tussenschotten, en voor elke container
de x-en die er in zitten:
bijvoorbeeld: k = 3 en n=8, waarvan er 4 in het eerste bakje (n_1), 1 in het tweede bakje (n_2) en 3 in het derde (n_3) levert:
xxxx|x|xxx
elk rijtje met n + (k-1) symbolen levert zo precies een unieke oplossing voor je vergelijking.

Kan je berekenen op hoeveel manieren we (k-1) symbolen kunnen kiezen uit (n+k-1) plaatsen?

marijnschreuders
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 08 feb 2010, 15:34

Re: aantal oplossingen van vgl n_1+...+n_k = n

Bericht door marijnschreuders » 08 feb 2010, 18:08

hartstikke bedankt, dit voorbeeld maakt het een stuk duidelijker.
Heb inderdaad het voorbeeld verkeerd opgeschreven en was vergeten te vertellen dat het om gehele getallen >=0 gaat. Het was allemaal nogal haastig.
In ieder geval bedankt.

Plaats reactie