nog meer verzamelingen?

[David]

Hallo allemaal,

Er natuurlijke getallen, , om bijv. 2+x=3 op te lossen, x=1
gehele getallen, om bijv. de verg. 3+x=2, x=-1 op te lossen,
rationale getallen, voor bijv. de verg. 7x=5, x=5/7
irrationale getallen voor bijv. x^2=3, x=√3 V x=-√3
rationale en irrationale getallen worden reële getallen,
en complexe getallen, voor bijv. x^2=-4. x=2i
Maar welke verzameling is er voor bijv. de verg. x^4=-1, iets als √i, maar is daar een verzameling of oplossing voor?

[SafeX]

Maar welke verzameling is er voor bijv. de verg. x^4=-1, iets als √i, maar is daar een verzameling of oplossing voor?

Ja hoor, die behoren tot de verz C. Dwz, er zijn 4 opl, te schrijven in de vorm a+bi.
In 't algemeen heeft de nde-graads verg:

n opl in de verz C.
Dus ook jouw verg en bv x^4=1 (eigenlijk ken je deze al)
Bij: x^n=a met a uit C, is de werkwijze:
1. |x^n|=|a| => |x|^n=|a| => |x|=|a|^(1/n)
2. arg(x^n)=arg(a)+k*2pi => n*arg(x)=arg(a)+k*2pi => arg(x)=1/n arg(a) + k/n*2pi.
Dat zijn dan n opl, ga dat na.
Bereken nu de opl van je verg.

[David]

heeft n oplossingen omdat n alle natuurlijke waarden tussen 1 en n kan aannemen.

dus

[SafeX]

Er zijn 4 opl van de vorm a+bi. Welke zijn dat?

[David]

en



dus






Als ik zo reken kom ik hierop uit. Niet zo elegant; het is veel werk.

[SafeX]

Dit is ook niet wat ik als werkwijze aangaf.

heeft n oplossingen omdat n alle natuurlijke waarden tussen 1 en n kan aannemen.

Je hebt dit:
dus

Wat is arg(-1)?
Dan wordt:
x1=1*(cos(a0)+i sin(a0)) met a0=arg(x) met k=0 enz.
Voldoet dit aan de eis?
Maak ook een tekening met deze opl in het complexe vlak. Valt je iets op?

[ti-wereld.nl]

Daco het is veel makkelijker om poolcoördinaten te gebruiken.

[SafeX]

Daco het is veel makkelijker om poolcoördinaten te gebruiken.

@"ti-wereld.nl"
Dan moet je die wel kennen, heb je je daarvan vergewist?
Je doorkruist hiermee ook de gestelde vragen.

[David]

Wat ti-wereld.nl liet zien, las ik ten dele hier:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_ge ... en_e-macht al gezien. Daar kon ik niet veel mee.
arg(x) leek me een logaritmische functie, omdat geldt: arg(z)+arg(w)=arg(zw) en dus ook arg(z^n)=n*arg(z) voor n als reeël getal. Voor een complex getal z = x + yi is de e-macht van z is gedefinieerd als:
e^z=e^(x+iy)=e^x(cos(y)+i*sin(y)). Hieruit volgt toch: e^(iy)=cos(y)+i*sin(y)?
Ik weet niet wat arg(-1) is, ik gaf dat omdat in x^4=-1, geldt:a=-1
Verder, en daar verwonderde ik me over, stond er dit: transcedent is. Dit is wel off-topic. Ik kom hierop: x1=1*(cos(a0)+i sin(a0)) met a0=arg(x) nog terug; dat is de insteek.

[SafeX]

arg(1) en arg(i), ken je die wel?
arg(-1)?
Heb je een tekening?
Wat is de definitie van het argument?
Wat volgt dan?

[David]

Wat moet ik me voorstellen bij de argumenten? zijn dat de oplossingen voor x in de vergelijking?
In de tekening in het complexe vlak liggen de oplossingen voor x^4=-1 in het complexe vlak op de cirkel telkens onder een hoek van 45 graden met en de reële getallenlijn en de imaginaire getallenlijn.
oplossingen zijn dan voor x1=1*(cos(a0)+i sin(a0)). cos(45)=0.5^0.5, sin(45)=0.5^0.5
arg(1)=i of arg(1)=-i
(cos(a0)+i sin(a0))^2 is de cirkel, arg(i) is dan een punt op de cirkel, maar ik weet niet hoe ik zo arg(i) moet vinden. Als (a+bi)=arg(i), dan(a+bi)^2=arg(-1). Ik zou arg(i) alleen kunnen vinden zoals ik arg(-1) vond.

[SafeX]

Ik dacht dat je de definities van modulus en argument kende en ieg ze weet te vinden.

[arno]

Als z = a+bi een complex getal is, dan is dit te schrijven als z = r(cos φ+i·sin φ), waarbij r de absolute waarde of modulus van z voorstelt, gedefinieerd door en φ het argument van z voorstelt, waarbij , dus r = |z| en φ = arg z. Met behulp van de formule vind je dan dat z = a+bi kan worden geschreven als .

[ti-wereld.nl]

het argument van z voorstelt, waarbij , dus r = |z| en φ = arg z.

let er wel op dat niet altijd de goede oplossing geeft.

[David]

In met , zoals ti-wereld.nl aangaf. In het complexe vlak, r=1, maar hoe kan je hier gebruiken?