Minimale oppervlakte Cilinder

[Flippie.]

Hoi,

Ik moet voor een wiskunde PO de minimale oppervlakte van een cilinder uitrekenen door middel van differentiëren, ik heb alleen geen flauw idee hoe ik dit moet doen.
De inhoud van de cilinder moet 1 liter zijn.
kan iemand mij helpen?

[arie]

Als van een cilinder
- de straal van het grondvlak = r
- de hoogte = h
Kan je dan volume V en oppervlak A uitdrukken in r en h?

PS: ik heb jezelfde vraag in het andere forum maar even weggehaald, zodat we niets dubbel gaan doen

[Flippie.]

inhoud van een cilinder is piR^2*h

Oppervlakte is 2piR*h + 2*piR^2

toch?

[arie]

OK,

Je weet dat de inhoud = 1 liter = 1 dm^3,

dus pi*R^2*h = 1.

Herschrijf dit als h = .......

en vul dit in in de formule voor het oppervlak.

Je houdt dan een formule voor het oppervlak over die alleen afhankelijk is van r.

Lukt dit?

[Flippie.]

dus dan krijg je Opp. = 2piR * 1/piR^2 + 2piR^2 ?

[arie]

Ja:
Opp. = 2piR * 1/piR^2 + 2piR^2

Je mag de breuk nog iets vereenvoudigen:

Opp = 2/R + 2piR^2

Je kan nu het oppervlak dus schrijven als een functie van R:

O(R) = 2/R + 2piR^2

en je wilt dat het oppervlak minimaal is.
Hoe bepaal je het minimum van een functie?
En wat levert dit voor de functie O(R)?

[Flippie.]

Dan moet je toch differentiëren?

Oke, ik ben niet zo goed in differentieren maar klopt dit:

O(R)=2R^-1 + 2piR^2 (ik weet niet zeker of dit klopt.)

O'(R)= -2R^-2 + 2R = -2/R^2+2R Of moet ik ook nog iets met 2pi doen?

[arie]

O'(R)= -2R^-2 + 2R = -2/R^2+2R Of moet ik ook nog iets met 2pi doen?

Ja, die 2pi is een constante factor, dus die blijft ervoor staan, net als de 2 bij de eerste term:

O'(R)= -2R^-2 + 2(2pi)R = -2/R^2+4piR

En je weet dat in het minimum de afgeleide O'(R) gelijk moet zijn aan nul, dus dan kan je nu R bepalen.

[Flippie.]

en dat gewoon oplossen?

[arie]

Ja.
Uit
O'(R)= -2/R^2+4piR = 0
vind je de R waarbij O(R), dus de oppervlakte, minimaal is.

Bedenk wel dat je het antwoord krijgt in dm, omdat je met liters = dm^3 als eenheid hebt gewerkt (zie eerdere post).

Als je R eenmaal gevonden hebt, kan je uit 1 van je eerdere formules (voor oppervlak of inhoud) vervolgens hoogte h bepalen.

Als je thuis een literblik soep of appelmoes hebt, kan je ook eens nagaan of fabrikanten deze afmetingen kennen.