Voorbeeld

[markvanwolfswinkel]

Goedemiddag allen,

Het duurde even voordat ik mijn aanmelding helemaal rond had. Marco nog bedankt ervoor.
Ik ben op zoek naar uitwerkingen ( visuele plaatjes bijvoorbeeld ) van de manier om de loodrechte projectie van een punt op een lijn door de oorsprong te berekenen. Stel dat de lijn dan wordt gekarakteriseerd door r, dan zal P de transformatiematrix zijn. Voor een willekeurig punt q is de projectie van q op r gelijk aan Pq.

Ik ben er te lang al niet meer mee bezig geweest maar ik wil het nog een keer ophalen. De preciese reden laat ik nog even achterwege Vanavond ga ik mijn wiskunde dictaat ook weer even induiken. Ik wil namelijk weer weten hoe je dit moet berekenen en moet tekenen in een grafiek.

Ten eerste, wat betekent het dikgedrukte bovenstaande Een loodrechte lijn snap ik, dat is haaks op de lijn. Een loodrechte projectie betekent gespiegeld aan de lijn waarop je hem loodrecht zet? Dus als een lijn is dan zou de loodrechte projectie van die lijn of kunnen zijn, toch? Door de oorsprong staat gelijk aan 0,0 van de grafiek. Als een lijn gekarakteriseerd wordt door r betekent dat je dus zegt r=(1,1) bij een x=y grafiek? En r = (3,4) bij een formule? Als dat zo is dan snap ik adt ook. P = de transformatiematrix.. een matrix is een tabel met gegevens. Een transformatiematrix bevat dan bewerkingen op bepaalde plekken in die matrix om het te kunnen projecteren?? Een punt is gewoon een punt in de grafiek of op de lijn, denk ik. Naja voor de rest raak ik even het spoor bijster.

Stel even dat we een lijn l hebben die gelijk staat aan met een richtingsvector van (3,4). In mijn gedachten spookt ook iets over dat een richtingsvector altijd maar 1 is in de richting van waar die lijn heenwijst, of dat is de eenheidsvector..

Ik wil graag alles weten wat er mee te maken heeft zeg maar, dus het berekenen van de "P" uit de onderstaande formule, wat de uitkomst van P zou moeten zijn ( getal of matrix of 2 coordinaten ) etc.

Ik heb even een plaatje online gezet waar als het goed is de originele formule instaat, maar ik wil graag ook weten of die formule juist is of niet. En hoe de uitkomst verwerkt wordt in de grafiek.

Volgens mij is mijn verhaal niet echt heel duidelijk Ik hoop van wel, maar anders ga ik daar nog op terugkomen!

Alvast bedankt voor de moeite zover.

plaatje:


grafiek met lijn 0=4x-3y:

[SafeX]

De uitwerking die je hebt meegegeven is correct.
Ik geef de afleiding van matrix P.
We vinden de kolomvectoren door het beeld van successievelijk e1 en e2 te bepalen.
Het beeld van e1 is dan de projectie van e1 op de lijn met richtingsvector r. We schrijven het beeld als Pe1 en dat is de eerste kolom in de matrix P en zo is Pe2 de tweede kolom.
Stel de projectie is t r.
Maak een tekening met vector e1 en r. Teken dan de lijn door de pijlpunt van e1 loodrecht de lijn r. Het snijpunt met r geeft de pijlpunt van t r aan.
Nu moeten we t berekenen uit de voorwaarde dat z=e1-tr loodrecht staat op r. Ga dat na.
Dwz het inproduct van z en r moet 0 zijn:z•r=0
Er volgt: e1•r-r•tr=0
Zodat:


We hebben nu de eerste kolom van P, nl t r of 1/|r|²maal


Ga dit allemaal na en kom met (eventueel) vragen en opmerkingen.