Snijpunt kromme

[Appeltje]

Ik heb hulp nodig! Ik kom niet uit een opdracht die heel belangrijk is.

x = t^3 - 9t
y = t (t -2)

De kromme K snijdt zichzelf in het punt S.
Bereken exact de coördinaten van het punt S.

Ik heb geen idee hoe ik dit moet oplossen.... Ik heb dit wel gehad met sinusfuncties maar onze docent gaat ervan uit dat we dan meteen alles kunnen en snappen.

Kan iemand mij vertellen hoe ik deze som moet oplossen?

Alvast bedankt.

[op=op]

is een vergelijking van een parabool in het ty-vlak.
Schrijf als functie van .
Dat geeft een keuze van 2 functies in het yt-vlak.
Substitutie in de eerste vergelijking geeft een functie van in in het yx-vlak.
Je hebt dan 2 van die functies.
Het snijpunt van die functies is het gevraagde snijpunt.

[SafeX]

x = t^3 - 9t
y = t (t -2)

De kromme K snijdt zichzelf in het punt S.
Bereken exact de coördinaten van het punt S.

Je weet toch dat elke t-waarde precies één punt van de kromme bepaald.
Dus moeten twee verschillende t-waarden dezelfde x en y geven.
Noem die twee t-waarden t1 en t2, dan is x(t1)=x(t2) en y(t1)=y(t2).
Schrijf dit eens op en laat dat zien.

[op=op]

@ SafeX: Die methode werkt helaas niet in dit geval.

[SafeX]

@op=op
Laat dat eens zien ...

[op=op]

Wat bedoel je? Wil je dat ik laat zien dat het op die manier niet gaat?
Nou:


en dan?

[SafeX]

Ga verder.
Bedenk dat je twee verg met twee 'onbekenden' hebt.

[SafeX]

Wat bedoel je? Wil je dat ik laat zien dat het op die manier niet gaat?
Nou:


en dan?

Misschien werkt het handiger als je t1=p en t2=q stelt, het scheelt schrijfwerk.
Je hebt een bewering gedaan ...

[op=op]

Dat maakt weinig uit. Dat gaat zo niet werken. Als je meent van wel, dan ben ik zeer benieuwd naar je oplossing.
In mijn eerste reactie heb ik een oplossingrichting gegeven die wel werkt.

[SafeX]

p³-q³=9(p-q)
p²-q²=2(p-q)
Nu zijn beide verg deelbaar door p-q, immers ...

Geef ook jouw opl.

[op=op]

Hmm, niet aan gedacht.
Mijn oplossing:
.
dan is
Schrijf voor het gemak .
Substituteren in de eerste vergelijking geeft
.
Dit zijn 2 functies voor in variabele .
Snijden geeft:
ofwel
ofwel
enz.

[SafeX]

En ben je al verder gegaan met de p en q?
Misschien valt je iets op.

In jouw opl zit ook: t=1 en dat betekent t1=t2, dus uitzonderen.

[op=op]

Met jouw methode kun je en berekenen,
en dus p en q vinden via een vkv.