Beste lezer,
Mijn vraag: mag in onderstaand logaritme zowel a als b negatief zijn?
log (a/b)=
Waarom de vraag: (a/b)> 0 dus lijkt het of de formule kan werken. Echter, conform logregels kan e.e.a. herschreven worden tot:
log (a/b) = log a - log b waarbij dus zowel a als b niet negatieg mogen zijn.
Waar zit mijn denkfout in deze?
Mvrgr,
Luc
Logaritmes (en hum domein?)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Hallo 7thwave,
Volgens mij moet je hiervoor over naar complexe getallen. Ik gebruik hier een voorbeeld met grondtal e.
=\\ln(-6)-ln(-2)=\\ln(6)+ln(-1)-(\ln(2)+ln(-1)))
.
Er geldt met complexe getallen:
)
Lijkt me niet een denkfout, maar een reden om van complexe getallen gebruik te maken.
Volgens mij moet je hiervoor over naar complexe getallen. Ik gebruik hier een voorbeeld met grondtal e.
Er geldt met complexe getallen:
Lijkt me niet een denkfout, maar een reden om van complexe getallen gebruik te maken.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
De logaritme is gedefinieerd op de positieve reële getallen.
Er geldt voor
:
 = \log(a) - \log(b))
.
Er bestaan geen aparte regels voor
, dus moet je wat creativiteit gebruiken om de formule te kunnen gebruiken.
Voor
en 
geldt:
 - \log(|b|))
Wat daco doet is nogal griezelig. Je kunt in de theorie van complexe getallen de logaritmen van negatieve getallen definiëren, maar daar botweg de rekenregels voor de reële getallen op toe passen is tricky.
In gevorderde cursussen complexe getaltheorie wordt de
juist gedefinieerd voor alle complexe getallen behalve de negatieve getallen en 0.
Zo griezelig zelfs dat het niet klopt.
Vul maar eens
in  + \log(b) = \log(ab))
en concludeer daaruit dat 
.
of
in .
Voor de kenners:
Het probleem is dat de
een (discontinue) sprong maakt bij de negatieve as. In de formules worden optellingen omgezet in vermenigvuldigingen, en vermenigvuldigingen zijn draaiingen. Draai je de verkeerde kant op, dan gaat het fout. Les: Het is leuk dat je de logaritme van negatieve getallen kunt definiëren, maar vergeet ze daarna onmiddellijk, want je kunt er alleen fouten door maken.
Met de wortel uit negatieve getallen heb je hetzelfde. De complexe wortel maakt bij de negatieve as een sprong. Draai je de verkeerde kant op, dan gaat het fout. Moraal: De wortel van negatieve getallen definiëren is grappig (en eenvoudig te doen: definieer
als 
), maar vergeet het daarna en gebruik het niet (of alleen symbolisch).
Er geldt voor
Er bestaan geen aparte regels voor
Voor
Wat daco doet is nogal griezelig. Je kunt in de theorie van complexe getallen de logaritmen van negatieve getallen definiëren, maar daar botweg de rekenregels voor de reële getallen op toe passen is tricky.
In gevorderde cursussen complexe getaltheorie wordt de
Zo griezelig zelfs dat het niet klopt.
Vul maar eens
of
Voor de kenners:
Het probleem is dat de
Met de wortel uit negatieve getallen heb je hetzelfde. De complexe wortel maakt bij de negatieve as een sprong. Draai je de verkeerde kant op, dan gaat het fout. Moraal: De wortel van negatieve getallen definiëren is grappig (en eenvoudig te doen: definieer
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ik begrijp het probleem niet.
Als a en b kleiner dan 0 zijn is de breuk positief: dus a/b=(-a)/(-b) en je kan je rekenregel weer gebruiken:
log(ab)=log(-a)+log(-b) enz.
Als a en b kleiner dan 0 zijn is de breuk positief: dus a/b=(-a)/(-b) en je kan je rekenregel weer gebruiken:
log(ab)=log(-a)+log(-b) enz.
Re: Logaritmes (en hum domein?)
In het reële assenstelsel bestaat een logaritme van een negatief getal niet.
en 
,
Of
 = \log(a) - \log(b)\\ \pi i= 2\pi i- \pi i)
Lijkt mij dat als je ervoor kiest omcomplexe getallen te gebruiken, je dat voor alle getallen moet doen.
Als ik discrimineer tussen reële en complexe getallen, vind ik metop=op schreef:Vul maar eens
of
Of
Lijkt mij dat als je ervoor kiest omcomplexe getallen te gebruiken, je dat voor alle getallen moet doen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Selectief shoppen is jezelf voor de gek houden.
 - \log(1) = \log(\frac{-1}{1}) = \log(\frac{1}{-1}) = \log(1) - \log(-1))
Wat ik ook invul, dit kan ik niet rechtbreien. Of wou je beweren dat
?
En bovendien,
waarom is = 2\pi i)
in  + \log(-1) = \log(1))
en gelijk aan 0 in + \log(-1) = \log(-1))
???
Wat ik ook invul, dit kan ik niet rechtbreien. Of wou je beweren dat
En bovendien,
waarom is
en gelijk aan 0 in
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Wat wil je weergeven, doe eens zonder LateX
Het is omslachtig om het met complexe getallen te doen omdat je -1 op verschillende manieren kan weergeven;
of zelfs \pi i})
en dan vind je
= \\ \ln(-1)-ln(1)= \\3 \pi i-2 \pi i= \\ \pi i)
en
= \\ \ln(1)-ln(-1)= \\2 \pi i-1 \pi i= \\ \pi i)
Het is omslachtig om het met complexe getallen te doen omdat je -1 op verschillende manieren kan weergeven;
en dan vind je
en
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Dat heet selectief shoppen.
Daar heb je niets aan.
 = 0)
zowel in de reële ruimte als in de complexe ruimte.
De log is een functie!!!
Geen zaken door elkaar gooien.
In de reële ruimte ga je ook niet shoppen en de ene keer zeggen dat
en als je het beter uitkomt er van maken 
.
Wat in R onzin is is in C ook onzin.
Daar heb je niets aan.
De log is een functie!!!
Geen zaken door elkaar gooien.
In de reële ruimte ga je ook niet shoppen en de ene keer zeggen dat
Wat in R onzin is is in C ook onzin.
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ook: =0+2\pi i)
in de complexe ruimte. Wanneer heb je volgens jou iets aan die wiskunde? Heb je in het complexe vlak geen functies volgens jou?
en anders gebruiken we het alleen symbolisch
en anders gebruiken we het alleen symbolisch
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Een functie heeft (en dat weet jij ook) in R dezelfde betekenis als in C.
log is een functie. In C is het definitiegebied C\
.
waarbij = \log(|z|) + i\arg(z))
. DUS log(1) = 0.
Je kunt een andere functie definiëren (maar die kun je dan niet log noemen, want die definitie ligt vast; laten we hem Log noemen).
Zeg Log heeft definitiegebied C\
, met Log(x) = log(x) + 
in kwadrant 1,2 en 4 en met Log(-1) = .
Dat is dan wel een andere functie.
Log(-1) bestaat wel en je kunt de somformule gebruiken als je binnen zijn domein blijft.
log(-1) bestaat niet, want dat geeft problemen met de somformule omdat een verkeerde draairichting de zaak in de soep laat lopen.
log is een functie. In C is het definitiegebied C\
waarbij
Je kunt een andere functie definiëren (maar die kun je dan niet log noemen, want die definitie ligt vast; laten we hem Log noemen).
Zeg Log heeft definitiegebied C\
Dat is dan wel een andere functie.
Log(-1) bestaat wel en je kunt de somformule gebruiken als je binnen zijn domein blijft.
log(-1) bestaat niet, want dat geeft problemen met de somformule omdat een verkeerde draairichting de zaak in de soep laat lopen.
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ok, dit is me redelijk duidelijk, bedankt, maar ik heb het me zo proberen voor te stellen, met een ander voorbeeld. Je kan zoiets: \pi i}=-1)
en dan wat gehele waarden voor k invullen. Dan vind je dus bijvoorbeeld 
etc. Maar dat betekent niet dat 
allemaal hetzelfde zijn.
Maar hoe ziet het dan, met bijv. deze)
, mag je voor x alle reële waarden tussen 
en 
invullen, zelfs als ze met formules geschreven zijn, bijv. =0.5\pi)
ook ;.. 2 \cdot0.5;.. 3^0;.. 2-1)
etc.?
Maar hoe ziet het dan, met bijv. deze
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
De verschijnselen in C doen zich ook voor in R.
b.v. in R:
 = 1)
.
Dan is = \frac{\pi}{2})
en niet
 = \frac{\pi}{2} + 2\pi)
omdat het ons ineens beter uitkomt.
Om de arcsin te definiëren hebben we een zo groot mogelijk gebied gekozen waarbinnen de sinus nog inverteerbaar is. De keuze is gevallen op het gebied
.
Bij de complexe definitie voor arcsin doe je precies hetzelfde. Je zoekt dus een zo groot mogelijk open gebied in C waarbinnen de sinus inverteerbaar is. Het is een cirkel met straal
rond O.
Bij logaritmen doet zich het verschijnsel voor dat de
in R precies 1 oplossing heeft en dus dat de inverse uniek is en log(x) bestaat voor x>0, terwijl in C de vergelijking oneindig veel oplossingen heeft en dat we een gebied moeten kiezen waarbinnen de inverse bestaat. We hebben gekozen voor het open gebied C\ met =0)
.
In C kiezen we altijd een open gebied (dus zonder rand) als domein, omdat op de rand de formules soms waar en soms onwaar zijn vanwege de sprong in de functie. Als je binnen het domein blijft kun je de formules toepassen.
b.v. in R:
Dan is
Om de arcsin te definiëren hebben we een zo groot mogelijk gebied gekozen waarbinnen de sinus nog inverteerbaar is. De keuze is gevallen op het gebied
Bij de complexe definitie voor arcsin doe je precies hetzelfde. Je zoekt dus een zo groot mogelijk open gebied in C waarbinnen de sinus inverteerbaar is. Het is een cirkel met straal
Bij logaritmen doet zich het verschijnsel voor dat de
In C kiezen we altijd een open gebied (dus zonder rand) als domein, omdat op de rand de formules soms waar en soms onwaar zijn vanwege de sprong in de functie. Als je binnen het domein blijft kun je de formules toepassen.
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ok, de moraal van dit verhaal is dan dat je als meer oplossingen in een formule hetzelfde antwoordt geven, er een besluit is genomen over een domein zodat er 1 antwoord juist is. Klopt dat?
Over het gebied van arcsin(x) met domein [-0.5\pi,0.5\pi], dat klopt en wat ik zei niet.
Blijkbaar heeft 7thwave iets anders bedoelt. Ik zal het topic splitsen.
edit: Dergelijke vraag is eerder behandeld.
Over het gebied van arcsin(x) met domein [-0.5\pi,0.5\pi], dat klopt en wat ik zei niet.
Blijkbaar heeft 7thwave iets anders bedoelt. Ik zal het topic splitsen.
edit: Dergelijke vraag is eerder behandeld.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ja dat klopt.
Re: Logaritmes (en hum domein?)
Ok, dank je wel voor je uitleg en zo'n feedback. Door dit als een discussie te behandelen heb ik gemerkt dat het heel leerzaam is.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)