irrationale functie: schuine asymptoot

brxpower · Bericht door **brxpower** » 16 mei 2010, 22:06

Ja ik zie het.

Maar is dit ook (gemakkelijk) algebraisch te benaderen.

Het is wel allemaal leuk om te zien maar kan je deze manier in elk geval toepassen?

Bedankt hoor

Bericht door **SafeX** » 16 mei 2010, 22:26

Dit is toch algebraïsch ...

Bericht door **meneer van Hoesel** » 17 mei 2010, 12:28

SafeX schreef:Dit is toch algebraïsch ...

al 'dit soort methoden' waarbij een formule wordt ingevoerd in een computer of rekenmachine waarbij functies geplot worden, waarden berekend worden tussen een onder en boven grens zijn allen 'numeriek' en 'niet algebraïsch'; dat zijn eigenlijk de meeste computer algorithmen voor het bepalen van nul-punten, afgeleiden en integralen. Kennis van limiten en asymptoten is en blijft belangrijk, want de benaderde grafische weergave kan heel gemakkelijk over verticale asymptoten heen springen en nulpunten kwijt raken als de stap-grootte te groot is.

Er zijn maar heel weinig algebraïsche oplos-methoden, helaas. Op het internet kun je wel gebruik maken van WolframAlpha, die kan nog wel eens de tussen stappen laten zien

Bericht door **SafeX** » 17 mei 2010, 13:42

Er hoort nog meer bij; zie eerdere posten.
Het 'plaatje' is slechts een illustratie.

Bericht door **op=op** » 17 mei 2010, 13:47

Om "algebraïsch" aan te tonen dat
$g(x)=x-1$ een scheve asymptoot is van
$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+9}$
moet je laten zien dat
$\lim_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) = 0$ .

Om "algebraïsch" aan te tonen dat
$h(x)=-x+1$ een scheve asymptoot is van
$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+9}$
moet je laten zien dat
$\lim_{x\to-\infty} (f(x)-h(x)) = 0$ .

Het woord "algebraïsch is hiet onjuist gebruikt. Het moet zijn analytisch.
Analytisch = met limieten (of daarvan afgeleiden zoals integralen en afgeleiden).

brxpower · Bericht door **brxpower** » 17 mei 2010, 17:44

Bedankt voor jullie hulp.

Maar de methode van op=op is toch meer een controle methode?
Is er geen andere methode dan die van Safex om tot de SA's van deze functie te komen?

Via de formules van Cauchy bijvoorbeeld?
En het is eigenlijk via deze manier dat ik dit wil doen omdat ik het een mooie manier vind.

y = mx + q is de vgl een schuine asymptoot.

m = lim (x naar +/- oneindig) f(x)/x
q = lim (x naar +/- oneindig) f(x) - mx)

En kan ik alvorens aan al dat rekenwerk te beginnen weten of er een SA is?

Bedankt voor jullie hulp!

Bericht door **SafeX** » 17 mei 2010, 18:07

Pas die manier (Cauchy (?))eens toe.

Verder heb ik je alles al verteld.

brxpower · Bericht door **brxpower** » 17 mei 2010, 18:57

Dat is wat ik nu net in het begin van heel dit onderwerp zei, het is moeilijk voor mij om alles met limieten en al in latex-vorm te zetten waardoor ik het enkel in normaal lettertype kan tonen. Dat is redelijk onduidelijk.

Maar goed ik zal het toch doen.
y = mx + q is de algemene vgl voor een schuine asymptoot.

we berekenen m: (voor elke regel, behalve de laatste moet er: lim voor x naderend naar +/- oneindig.)
$\frac {f(x)} {x}$

$= \frac {\sqrt {x^2-2x+10}} {x}$

$= \sqrt {\frac {x^2-2x+10} {x^2^}}$

$= \sqrt {1-\frac {2} {x}+\frac {10} {x^2}}$

$= \frac {x^2-2x+10-x^2^} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$

$= 1$

Nogmaals voor elke regel, behalve de laatste moet er: lim voor x naderend naar +/- oneindig

We berekenen u: (overal lim voor x naderend naar +/- oneindig)

$f(x) - mx$

$= \sqrt {x^2-2x+10}-x$

$= \frac {(\sqrt {x^2-2x+10} -x) \cdot (\sqrt {x^2-x+10}+x)} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$

$= \frac {x^2-2x+10-x^2^} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$

$= \frac {-2x+10} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$

$= ...$
Nu weet ik het niet meer.

Bericht door **op=op** » 17 mei 2010, 19:09

Eerst SA schatten en als volgt bewijzen;

$g(x)=x-1$
$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+9}$

$\lim_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{(x-1)^2+9} - (x-1)) =$
$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{(x-1)^2+9} - (x-1))\frac{ (\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1))}{ (\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1))} =$
$\lim_{x\to\infty} \frac{(x-1)^2+9 - (x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1)} = 0$

brxpower · Bericht door **brxpower** » 17 mei 2010, 19:17

op=op schreef:Eerst SA schatten en als volgt bewijzen;

$g(x)=x-1$
$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+9}$

$\lim_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{(x-1)^2+9} - (x-1)) =$
$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{(x-1)^2+9} - (x-1))\frac{ (\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1))}{ (\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1))} =$
$\lim_{x\to\infty} \frac{(x-1)^2+9 - (x-1)^2}{\sqrt{(x-1)^2+9} + (x-1)} =$ enz.

Bedankt, maar ik heb al enkele keren willen duidelijk maken dat ik dit "schatten" wil doen via Cauchy. En dan kan ik inderdaad jouw formules gebruiken om dit te CONTROLEREN maar dat kan ik evengoed grafisch doen. Kan niemand me verder helpen met mijn uitwerking via de formules van Cauchy?

Bericht door **SafeX** » 17 mei 2010, 19:36

brxpower schreef: $= \frac {-2x+10} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$

Dit moet eigenlijk zijn:
$\lim_{x\to \infty} \frac {-2x+10} {\sqrt {x^2-x+10}+x}$
Deel teller en noemer door x, maar waarom?

Bericht door **op=op** » 17 mei 2010, 19:47

Mijn methode is geen controlemethode maar een bewijsmethode.
Maar als je Cauchytruc handiger vindt, dan doe je het met Cauchy.

.

brxpower · Bericht door **brxpower** » 17 mei 2010, 19:56

zo krijgen we x in de noemer:

weeral limiet gaande van x tot +/- oneindig:

$= \frac {-2+10} {\sqrt {1-\frac {1} {x}+\frac {10} {x^2}}$

Maar als je hier oneindig invoert krijg je toch 0 in de noemer, niet?

Bericht door **SafeX** » 17 mei 2010, 19:59

Niet consequent gedeeld, 10 (in de teller) en x (in de noemer).

brxpower · Bericht door **brxpower** » 17 mei 2010, 20:03

SafeX schreef:Niet consequent gedeeld, 10 (in de teller) en x (in de noemer).

Inderdaad.

$= \frac {-2+0} {\sqrt {1-0}}$
m = 1
q = -2

SA: y = x-2

Klopt niet?

Wiskundeforum

irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot

Re: irrationale functie: schuine asymptoot