coëfficiënten voor polynoom vinden.

[David]

Hallo allemaal,

Ik vraag jullie om advies bij het volgende:
Ik ben bezig om coëfficiënten uit te rekenen voor polynomen die snijpunten hebben met de grafiek van de formule
Niet zomaar snijpunten, maar snijpunten voor gehele waarden van x groter dan 1.
Voorbeelden in de vorm van (x,x!): (1,1), (2,2), (3,6).
De polynoom ziet er zo uit:
m is het aantal snijpunten van de polynoom en f(x). Ik tel vanaf x=1 telkens "1 naar rechts"
Voorbeeld: f_2(x) gaat door (1,1) en (2,2)
ik heb een aantal polynomen uitgerekend:


Ik kan de coëfficiënten uitrekenen. Dat is veel werk, maar op zich geen probleem. Ik heb een recursieve formule geschreven, waarmee ik sneller de coëfficiënten kan uitrekenen. Als ik voor die recursieve formule een directe formule heb, zou het sneller gaan, hoewel dat voor zover ik weet niet bestaat.

Ik kan de methode niet voor alle polynomen bewijzen. Ik heb tot de vierde graad de methode bewezen, maar ik kan niet generaliseren voor alle polynomen. De recursieve formule heb ik empirisch gevonden. Geen tegenvoorbeeld en geen bewijs.

Ik heb geen informatie gevonden, en weet dus niet of zoiets al gedaan is. Dat geldt voor de recursieve formule en de polynoom. Uit gegeven werk is het me niet gelukt hierop toe te passen.

Mijn vragen:
Is hier al iets mee gedaan?

Mijn adviesvraag:
Wat kan ik nu het beste doen, laten varen, of kunnen jullie me helpen, of een universiteit vragen, of...?

[op=op]

Die coëfficienten worden heel complex.
Zo is de constante term in de uitdrukking voor :
.
En de hoogste coëfficient van voldoet aan de recursie

met .

Ik vermoed dat de coëfficienten alle uitgedrukt kunnen worden in termen van permutaties en vaste punten. Maar daar heb je weinig aan.

[David]

Ok, dank je wel,
Die recursieve had ik ook gevonden, verder had ik nog gekeken of die via fibonacci direct te beschrijven is. Helaas kan dat volgens mij niet, wel als de factor uit de tweede term, (n-1), n was geweest. Mocht het wel kunnen, heb ik genoeg aan de directe formule voor die recursie om alle coëfficiënten uit te rekenen.

edit: als de factor uit de tweede term, (n-1), n was geweest, is die ook niet te beschrijven als directe formule.

[David]

Ik had die recursie gevonden met het volgende:
Het is niet een heel mooi wiskundige manier.
n!: 1...2...6...24....120....720...5040
......1....4..18...96.....600..4320
.......3....14..78....504...3720
.........11...64..426...3216
.............53..362..2790
.................309.2428
....................2119

Het getal is altijd het (absolute) verschil van de 2 getallen erboven.
Voorbeelden: 504=600-94, 2790=3216-426
De rode rij is de recursieve rij:

met
Dat vond ik door ervanuit te gaan dat er "iets met vermenigvuldigen was". Hoe vaak past 11 in 53? 4 en een beetje. 9 blijft over. He, dat is 3 keer dat getal 2 daarboven. Proberen voor de anderen. 53 past 5 keer en een beetje in 309. Wat blijft over? 44. He, dat is 4 keer dat getal 2x daarboven. Nou ja. niet zo mooi wiskundig dus.
Zo had ik ook een recursie voor de blauwe rij. De rode rij is rij 1. De blauwe rij is rij 2. de rij daarnaast is rij 3. enz. Zo heb ik gegeneraliseerd:

Met

En dan gebruik ik alle u_n uit de recursieve formule voor rij 1 (die op=op/jij al gaf) om elke coëfficiënt uit te rekenen.