Maximale groei bepalen

[Heatryn]

Dag allemaal,

De vraag van vandaag: gegeven is de logistishe functie f(t):



met a, b > 0, c < 0

Nu moet ik van deze functie het tijdstip bepalen waarop de groei maximaal is, uitgedrukt in a, b en c.

Ik had gedacht eerst de eerste afgeleide te bepalen, aangezien deze de groei aanduidt. Als ik dan van de eerste afgeleide het max bepaal, dan is dat het moment waarop de groei maximaal is. De eerste afgeleide bepalen, lukt me wel, maar de tweede niet. Ook weet ik niet zeker of dit de correcte werkwijze is.

Alvast bedankt voor jullie hulp.

[ti-wereld.nl]

Wat heb je zelf al geprobeerd?

[SafeX]

Laat de eerste afgeleide eens zien en natuurlijk hoe je dat doet.

[Heatryn]

De eerste afgeleide f'(t) is:



Ik denk toch dat dit juist is, aangezien ik dit hem geverifiëerd met Maxima.

Groetjes,

Joël

[Heatryn]

Ik heb nu ook de tweede afgeleide bepaald en die is f''(t):



Van deze tweede afgeleide heb ik het nulpunt bepaald en dit is t = -ln(b)/c

Is de groei nu maximaal op t = -ln(b)/c?

Aangezien de functie f(t) en de eerste afgeleide geen nulpunten hebben, zou ik denken dat dit de oplossing is?

[SafeX]

Van deze tweede afgeleide heb ik het nulpunt bepaald en dit is t = -ln(b)/c
Is de groei nu maximaal op t = -ln(b)/c?
Aangezien de functie f(t) en de eerste afgeleide geen nulpunten hebben, zou ik denken dat dit de oplossing is?

Bekijk daarvoor eens de standaardfuncties: f(x)=x² en f(x)=-x²
Hoe staat het met de eerste en de tweede afgeleide? Kan je nu je vraag beantwoorden?

Aangezien de functie f(t) en de eerste afgeleide geen nulpunten hebben, zou ik denken dat dit de oplossing is?

Ik begrijp niet wat je hiermee bedoelt?
Wat heeft het eerste deel van de zin te maken met het tweede deel?

[Heatryn]

Ik snap nog steeds niet goed wat je bedoelt. Ik kan van deze standaardfuncties perfect de afgeleiden bepalen. De eerste afgeleide heeft nul als nulpunt, maar de tweede afgeleide is een constante functie. Waarschijnlijk omdat de groei bij deze functie altijd continu is, is de tweede afgeleide een constante.

Nu terug voor mijn functies: mag ik dit zeggen? de eerste afgeleide heeft geen nulpunten, en de tweede afgeleide heeft 1 nulpunt, op dit punt zal de eerste afgeleide van stijgen veranderen in dalen of omgekeerd. Dus wil dit zeggen dat op dit punt de oorspronkelijke functie een maximale groei kent?

[SafeX]

Je vroeg naar het verband tussen het extreem ( max, min) en de tweede afgeleide.
Van die standaardfuncties ken je de extremen en ook de tweede afgeleide zodat je (aan de hand daarvan) dat verband kunt onthouden (begrijpen).
Maw het teken van f'' (in het te bekijken punt) bepaalt de aard van het extreem.

In dit geval heb je geen extremen, wel kan f'' gelijk 0 zijn (dat heb je opgelost). Wat stelt dat punt in je grafiek dan voor?
Kennelijk heeft je f' daar wel een extreem. Wat is de aard van dat extreem?

[Heatryn]

Als de tweede afgeleide 0 is, dan heeft de oorspronkelijke functie daar een buigpunt?

[Heatryn]

Heb even als voorbeeld de getallen a, b en c ingevuld met fictieve getallen en dan de grafiek eens getekend met het programma Maxima. En dan zie je dat op het punt dat ik aangaf de eerste afgeleide van stijgen naar dalen overgaat, zodanig dat dus de tweede afgeleide daar nul is, en zodanig dat de theorie klopt, aangezien de tweede afgeleide nul is in dat punt, wil dat zeggen dat de eerste afgeleide daar een extreem heeft. We zouden eventueel nog de derde afgeleide kunnen bepalen en in dat punt gaan kijken of het extreem een maximum of minimum is.

Klopt deze uitleg? Aangezien dit intiutief is als ik naar de grafieken kijk.

[SafeX]

Dit klopt allemaal en je kan dus ook die f''' gaan bepalen, maar in feite weet je de aard van je extreem al.
Maak een tekenverloopschema van f'' ...