Minimum zoeken

[Heatryn]

Hey allemaal.

Bij het maken van mijn huiswerkopgaven ben ik op het volgende probleem gestoten:

De vraag: gegeven zijn de punten A(0, 1), B(3,3), C(c, 0) met 0 < c < 3.
De afstand tussen A en C noemen we AC en de afstand tussen B en C noemen we BC. Bepaal c zondaig dat AC + BC minimaal is.

Wat ik heb gedaan: ik maak een functie d, die de afstand vertegenwoordigd van AC + BC.

Functie is:

Nu heb ik deze functie afgeleid, zodanig dat ik van die afgeleide functie de extremen kan bepalen. Dan kan ik makkelijk zien waar de oorspronkelijke functie een minimum heeft.

De afgeleide functie:

Als ik nu van deze afgeleide functie de nulpunten wil bepalen, lukt me dit niet.
Kan iemand me hieruit helpen?

[ti-wereld.nl]

Wat heb je geprobeerd om het nulpunt te berekenen?

[Heatryn]

Ik heb getracht de vergelijking om te vormen naar c. Dan krijg ik:



En dan zit ik vast. Onder de wortels lijken mij geen nulpunten te staan.

[ti-wereld.nl]

Kan je vertellen hoe je daar aan bent gekomen?

[Heatryn]

Als je de oorspronkelijke afgeleide functie neemt. Die functie stel je gelijk aan nul. En dan breng je de rechterterm over naar het rechterlid en dan vermenigvuldig je met de vierkantswortel van c²+1

[SafeX]

A(0, 1), B(3,3), C(c, 0) met 0 < c < 3.
De afstand tussen A en C noemen we AC en de afstand tussen B en C noemen we BC. Bepaal c zondaig dat AC + BC minimaal is.

Functie is:

De afgeleide functie:

Je moet wel rekening houden met de grenzen voor c.
De teller van de tweede term moet dus ... zijn.
Verder: hoe tel je breuken op? Dat is hier niet goed gegaan.

[Heatryn]

Ik kan de breuk op gelijke noemer brengen:



Nu rest ons nog het nulpunt van de teller te bepalen. Maar hier zit ik dan weer vast.

Wat bedoel je dat ik rekening moet houden met de grenzen voor c? Ik weet dat c beperkt is, maar hoe vertaal je dat dan naar uw vergelijking? Je bedoelt dat de tweede term altijd negatief zal zijn?

[SafeX]

Je moet 3-c schrijven (het zal in de verdere opl niet uitmaken).
Waarmee zit je vast?
Ga uit van: t_1+t_2=0 => t_1=-t_2, je hebt wortels aan beide kanten dus ... ?

[Heatryn]

Kwadrateren natuurlijk

Te laat geleden gewoon

Ik post straks de oplossing, als ik eruit ben. Alvast bedankt!

[SafeX]

Er is nog een andere manier (die bekijken we straks als je dat wilt!).

[Heatryn]

De oplossing is: c = 3/4. De andere oplossing (-3/2) behoort niet tot het domein van c, dus kunnen we dat uitsluiten.

Als je zin hebt, mag je me de andere oplossing zeker uitleggen. Dat ik nooit meer aan zo'n simpele opgaves blijf vastzitten.

Alvast bedankt voor de professionele en zeer snelle reacties.

[SafeX]

Uit de natuurkunde weten we dat licht de kortste weg kiest.
Hier wil je de kortste weg tussen A, C en B.
We vatten de x-as (met C) op als een vlakke spiegel en laten een lichtstraal weerkaatsen via deze spiegel naar B. Weet je hoe deze constructie er uit ziet?

Overigens merk ik dat je de verg snel hebt kunnen oplossen terwijl het ogenschijnlijk een 4e-graads verg is. Wat is je opgevallen? Kan je de tweede oplossing verklaren?

[Heatryn]

Bij het oplossen v/d vergelijking vallen de vierde en derde graadstermen weg.

Kunnen we niet de stelling van Pythagoras gebruiken?

[SafeX]

Bij het oplossen v/d vergelijking vallen de vierde en derde graadstermen weg.

Kunnen we niet de stelling van Pythagoras gebruiken?

Eerste opmerking is juist. Heb je eerst uitgewerkt of zag je dat gelijk?

Kunnen we niet de stelling van Pythagoras gebruiken?

Wat bedoel je? Kan je iets duidelijker zijn?

Hint: Wat is het beeld van A tov de x-as (de spiegel)?

[Heatryn]

Ik zou zeggen dat licht invalt op de spiegel en dan terugkaats onder dezelfde hoek als de invallende hoek. Dus dan weten we de hoek tussen BC en AC?

Het beeld van A tov de x-as is -A(0,-1) zeker?