bewijs (absolute waarde van som of verschil)

[idefix]

Goedenavond.

Gegeven a en b twee reële getallen. Bewijs dat



Ik heb geen idee waar ik moet beginnen. Kan iemand een aanzet geven of een clue?
Dank jullie wel bij voorbaat.

[SafeX]

Kwadrateer eens. Waarom werkt dit?

[idefix]

Weerom dank voor de snelle reactie, SafeX!

Bedoel je dit?


offtopic: ik ga nu slapen, ben doodmoe... kan gaan dromen waarom dit werkt.

edit: ik denk dat je dit bedoelt:



en nu ga ik echt slapen...

[SafeX]

OK, en nu even 'scheiden'. Heb je het dan bewezen?

[idefix]

Ik denk dat ik het heb:



Men mag beide leden van de vergelijking kwadrateren:



Dit mag je ook zo schrijven (want een kwadraat is altijd positief):



En nu de haakjes uitwerken:

eerst voor de aftrekking (a-b)²:






idem voor de som (a+ b)²

Waarmee het bewijs geleverd is.

[SafeX]

Eigenlijk is alleen |a-b|=|b-a| interessant, de andere regel niet, weet je ook waarom?
Wat stelt dit op de getallenlijn voor?

[idefix]

|a+b| = | b+a| volgt reeds uit de commutatieve eigenschap voor de optelling.

|a-b| stelt op de getallenlijn de afstand tussen de punten a en b voor, en die is natuurlijk gelijk aan de afstand tussen b en a, dus |a-b| = |b-a|

Wat ik mij nu afvraag over dit bewijs: hoe komt het dat jij dat ziet dat men beide leden moet kwadrateren om deze gelijkheid te bewijzen? Ik had zelf dat verband niet gelegd. Is dat jouw wiskunde-ervaring of zat dat bewijs nog ergens in die vorm in je hoofd?
Achteraf bekeken is er wel een verband: absolute waarde geeft altijd een positief getal en kwadrateren ook. Maar ik was er zelf niet opgekomen, en daar zou ik nu net heen willen...

Alvast hartelijk bedankt voor je hulp!

[SafeX]

Ja, je hebt het zelf al opgemerkt in je laatste zin.
Bovendien is het (vaak) heel lastig om aan te geven hoe je op iets komt. En daarbij komt natuurlijk altijd je ervaring van pas.

[David]

Gegeven a en b twee reële getallen. Bewijs dat

Alternatieve aanzet:


Ik probeer meestal te kijken wat er nog meer moet gelden als dat waar is. (Mijn geringe) ervaring wil dan wel helpen. (Mocht je dit willen weten)

[idefix]

daaruit volgt (definitie van absolute waarde):



Dit klopt voor het geval van de som (commutativiteit van optelling, definitie van absolute waarde):



Voor de aftrekking geldt :



want a - b = a + (-b) = (-b) + a = -(b -a)

Ik probeer meestal te kijken wat er nog meer moet gelden als dat waar is

Dat is vast en zeker een gouden regel om te onthouden!

Bedankt , daco!

[David]

daaruit volgt (definitie van absolute waarde):

let op wat je daar doet, het is wel hetzelfde, maar dat komt door de absoluutstrepen.
, dus dat mag je niet tussen de absoluutstrepen zetten.

Graag gedaan, zover.

[idefix]

Oeps, ik had jouw alternatieve aanzet te snel gelezen en verkeerd overgenomen. Hier dus mijn tweede poging:

te bewijzen:

Jouw alternatieve aanzet is:



Beide varianten - som en aftrekking - volgen direct uit de definitie van absolute waarde:




Voor de som geldt de commutatieve eigenschap:
|-(a + b)| = |-(b + a)|
= |b + a| (definitie van abs. waarde)

Voor de aftrekking:
|(a - b)| = |-(a - b)| (definitie van abs. waarde)
= |-a + b| (-teken binnen haken brengen)
= |b + (-a)| (commutativiteit van optelling)
= |b - a|

[David]

Voor de som geldt de commutatieve eigenschap:
|-(a + b)| = |-(b + a)|
= |b + a| (definitie van abs. waarde)

(kleinigheid) Hiermee bewijs je dat:
|-(a + b)| = |b + a| terwijl je wilt bewijzen dat:
|(a + b)| = |b + a|

Je kan eventueel gebruiken wat je daarna ook gebruikte:

|(a - b)| = |-(a - b)| (definitie van abs. waarde)

Ofwel algemeen |c|=|-c|.

|(a - b)| = |-(a - b)| (definitie van abs. waarde)
= |-a + b| (-teken binnen haken brengen)
= |b + (-a)| (commutativiteit van optelling)
= |b - a|

Dat is netjes gedaan.

[idefix]

Bedankt!

[Sjoerd Job]

Een ding wat mij opvalt is dat iedereen er `stilzwijgend' van uit gaat dat de keuze bij de aan beide kanten dezelfde is.

De truc van het kwadrateren is vrij logisch wanneer je als definitie herinnert


Dan is het:

en die `lelijke' wortel willen we graag weg hebben.

Er zijn een aantal standaard-trucjes waar je meestal wat aan hebt. Het `teruggaan' naar de definitie is daar een van.