ontbinden in factoren

[marr123]

Hoi,
Ik moet ontbinden in factoren. Wanneer je de product-som methode kunt gebruiken weet ik het wel. Maar wat moet je doen als dat niet kan?
Bijvoorbeeld bij x²+6x-4 of 5x²+14x-3?

[meneer van Hoesel]

Maar wat moet je doen als dat niet kan?

dan doe je ook 'niks' of je zet neer "kan niet" of "k.n."

[marr123]

maar in de opgaves die ik gekregen heb, staat dat ik deze formules moet ontbinden in factoren ..
dus bedoel je dat dat niet kan?

[meneer van Hoesel]

In veel opgaven boeken staat er in de opgave iets als:
"ontbind in factoren, of zet kn indien het niet mogelijk is"...

Als dat niet in jouw boek staat is dat jammer, maar als het echt niet kan, dan kan het niet...


en die eerste van jouw is niet te ontbinden in factoren

tenzij je er iets flauws van wil maken als 1×(x²+6x−4) −−− formeel zijn dat twee factoren, maar dat wordt meestal niet bedoeld

[marr123]

Okee, bedankt.

[arie]

Let op:
x² + 6x - 4 = (x + 3 - √(13)) * (x + 3 + √(13))
5x² + 14x - 3 = (x + 3) * (5x - 1)

Als de corresponderende tweedegraadsfunctie nulpunten heeft is er ook een ontbinding mogelijk.

[meneer van Hoesel]

Als de corresponderende tweedegraadsfunctie nulpunten heeft is er ook een ontbinding mogelijk.

Goed... het is een feit dat als er een oplossing zou zijn voor de tweedegraads vergelijking, dan heb je gelijk...

Echter de vraag 'ontbind in factoren' is een vraag die meestal komt voor het behandelen van de abc−formule.
En met ontbinden in factoren wordt over het algemeen bedoeld het zoeken naar termen die vallen binnen de verzameling gehele getallen en af en toe eens een vraag waarbij rationale getalen voorkomen. En dus géén wortels.

[meneer van Hoesel]

Hoe pak je het probleem in het algemeen aan als we het hebben over normaal ontbinden in faktoren...

vanuitgaande dat we het hebben over een kwadratische formule in de vorm van: ax²＋bx＋c, dan moeten we op zoek gaan naar twee faktoren die je over het algemeen kunt schrijven als (mx+p)(nx+q). Hierbij geldt dat m×n=a, p×q=c en p×n＋q×m=b.

Net als bij de eenvoudige versie zoals x²＋bx＋c (waarbij a=1 en dus m×n=1 en dus m=1 en n=1) en kunt ontbinden in (x+p)(x+q) komt het er op aan om de produkt som methode toe te passen; een kwestie van blijven proberen!

Voorbeeld:
6x²＋17x＋12: a=6, b=17 en c=12
beginnen met a=6, dan kun je bijvoorbeeld m=2 en n=3 kiezen
aan het eind c=12, mogelijk p=4 en q=3.
controleren voor b=17: b=p×n＋q×m... 4×3＋3×2=18 ≠ 17!
opnieuw proberen...
aan het eind c=12, mogelijk p=3 en q=4.
dat controleren 3×3＋4×2 komt er wèl op 17 uit!

6x²＋17x＋12=(2x+3)(3x+4)

Het is en blijft dan een kwestie van puzzelen. Nog een algemene tip, als a negatief is, dan is één van beide m òf n negatief (min−keer−plus−is−min) en als c negatief is, geldt dat één van beide p òf q negatief moet zijn! Lastig wordt het als b negatief is maar als dan weer a èn c positief zijn, dan moet je opzoek gaan naar twee nagatieve m èn n. En daar wordt het wel wat meer puzzel werk van.

Succes

[David]

Waarom geen abcformule, of
ax²+bx+c=0 dus
en dan gebruik maken van


-2q=b/a
-p²+q²=c/a

Als je wilt.

Als het de bedoeling is met de som-product-methode te ontbinden, bijv. omdat de abc-formule nog niet gedoceert is, zal niet gevraagd worden om bijv. x²+6x-4 te ontbinden in factoren.

off-topic:
Dat kan ook worden gebruikt voor het bewijs van de abc-formule.

[meneer van Hoesel]

Ik weet wel, de 'a' weg werken geeft de inleiding tot de 'abc-formule'...

maar nu even voor de liefhebbers... ontbind in factoren −8x²＋35x－12 en dan wel éérst delen door −8 en dan op zoek gaan naar de 'p' en 'q' die horen in -8(x+p)(x+q) .... sterkte! Overigens, er komen op die wijze dus ook géén gehele getallen uit

al zijn er ook nog wel aardig wat mogelijkheden waar je door heen moet met de som−produkt−methode.

Als het de bedoeling is met de som-product-methode te ontbinden, bijv. omdat de abc-formule nog niet gedoceert is, zal niet gevraagd worden om bijv. x²+6x-4 te ontbinden in factoren.

niet alléén omdat je de abc-formule nog niet hebt gehad, normaal gesproken zul je die ook niet onbinden in factoren... dat doe je niet omdat er geen gehele getallen uitkomen.
En natuurlijk, naarmate de wiskunde op een hoger niveau komt zul je ook ontbinden in factoren tegen komen in tal van andere situaties, waarbij een wortel-teken niet moet worden geschuwd.

[David]

Ik ga een poging wagen:

ontbind in factoren −8x2＋35x－12

Mag ik aannemen:

Gebruik:
en dan gebruik maken van


-2q=b/a
-p²+q²=c/a

Hier:

-2q=35/8
q=-35/16
Invullen:





We weten: en
Invullen in:

geeft

Als u wilt: (4-x)(8x-3)

normaal gesproken zul je die ook niet onbinden in factoren... dat doe je niet omdat er geen gehele getallen uitkomen.

Of als je niet ziet hoe je moet ontbinden. In de derde was het bij ons: ziet iemand vlug een ontbinding? Nee? ABC-formule. Dan kwamen soms toch hele getallen uit.

[meneer van Hoesel]

Ik ga een poging wagen:

ontbind in factoren −8x²＋35x－12

Als u wilt: (4-x)(8x-3)

Super!