Het verschil is erg subtiel.
Wat weinig strikt geformuleerd:
In de Hausdorff dimensie van verzameling A gebruik je de limiet voor epsilon naar nul van:
 = inf\; \left{ \sum_{i=0}^\infty diam(U_i)^s |\; \{U_i\} = open\; cover\; of\; A \;met\; diam(U_i)<\epsilon\;\right})
waarbij voor een open cover van A geldt dat
(de bollenverzameling die A overdekt).
De grootste moeilijkheid bij het berekenen van de Hausdorff dimensie is het bepalen van
^s)
In de box-counting dimension is diam(Ui)^s vervangen door delta^s, waarbij delta=grid size.
Je kan dan afleiden dat:
\cdot \delta^s = inf\; \left{ \sum_i \delta^s |\; \{U_i\} = finite\; cover\; of\; A \;met\; diam(U_i) \le \delta\;\right})
Waarbij N(A) = aantal vierkanten/kubussen/hyperkubussen die snijden met A ofwel A bevatten.
Voor de meeste gevallen leveren deze dimensies hetzelfde resultaat, ook voor fractale structuren zoals de Cantor verzameling en de Sierpinski fractals.
Een eigenschap van de Hausdorff dimensie is echter dat voor elke aftelbare verzameling (countable set) de Hausdorff dimensie gelijk is aan nul. De verzameling rationale getallen (Q) is aftelbaar, dus ook H(Q)=0.
Voor de box-counting dimensie geldt daarentegen dat voor elke dichte deelverzameling (waaronde Q) van R^n de dimensie gelijk is aan n, dus Db(Q) = 1.
Wikipedia gaf een soortgelijk voorbeeld: voor de rationale getallen in interval [0,1] = Q01 geldt:
H(Q01)=0
Db(Q01)=1
Nog minder strikt geformuleerd:
De Hausdorff dimensie is gebaseerd op een open cover (met bolletjes), de box-dimensie op een finite cover (met kubussen). In de meeste gevallen leveren deze dimensies hetzelfde resultaat, maar voor uitzonderlijke gevallen (bv de aftelbaar oneindige verzamelingen) treden verschillen op.
Bekijk bijvoorbeeld V = de verzameling punten (q,0) in het platte vlak (q element van Q). Q is aftelbaar, dus V bestaat in feite uit een oneindige verzameling losse punten.
Elk punt hierin kan overdekt worden met een Hausdorff-cirkel met straal nul, waarbij epsilon ongehinderd tot nul kan dalen, en de Hausdorff dimensie H(V) = 0 wordt (ook al zijn er oneindig veel punten, elk punt wordt overdekt met een cirkel met straal = diameter = nul).
Echter: als je het vlak nu opdeelt in vierkanten van afmeting delta * delta, zullen er altijd vierkanten zijn die 1 of meer punten (q,0) van V bevatten, waardoor box-dimensie Db > 0. In dit geval: als je delta door m deelt, zullen er m keer zo veel boxen een deel van je verzameling bevatten, waardoor Db(V) = 1.
Ik hoop dat ik het zo iets duidelijker maak.
