Stelsel vergelijkingen met parameter

[pppp]

Mij is gevraagd alle waarden van p te vinden waarvoor het stelsel:



een oplossing heeft. Bepaal die oplossingen afhankelijk van p.

Wat praktische tips zou ik prettig vinden, liever geen uitwerking

n.b. Ik heb LaTeX geprobeerd, maar blijf tegen <br />'s aanlopen die geprint worden

[op=op]

Als je met matrices kunt werken:
Schrijf het stelsel in matrixvorm als Ax = b.
Dan is , tenminste als bestaat en dat is als ...

Zonder matrices:
Elimineer d.m.v. de eerste vergelijking uit de laatste 2 vergelijkingen.
Je krijgt dan 2 vergelijkingen in de variabelen b en c.
Dat zijn 2 lijnen in het b-c-vlak en die hebben geen oplossing als het evenwijdige lijnen voorstellen.

[pppp]

Met matrices kan ik werken, ik ben bekend met determinanten, Cramer's regel et cetera, maar ik wil deze juist graag op de 'domme' algebraisch manier oplossen, niet meetkundig. Ik begrijp niet goed hoe ik de waarden van p kan vinden die dit stelsel oplossen. In feite is het meer een gebrek aan algebraisch inzicht en daar wil ik juist aan werken.

[David]

Je zou bijvoorbeeld

en

Bij elkaar op kunnen tellen.

n.b. Ik heb LaTeX geprobeerd, maar blijf tegen <br />'s aanlopen die geprint worden

Je kan dat met LaTeX doen zonder <br />'s te vinden door
[tex.]a-2c=-4 \\ -a + b +(p + 4)c = 10 \\ a -pb -5c = -10[/tex]
te typen (zonder punt achter de eerste "tex") \\ geeft een nieuwe regel.
Dat geeft

[meneer van Hoesel]

Allereerst geldt natuurlijk dat voor wat voor waarden je voor p ook maar kiest, je een stelsel krijgt van drie liniaire vergelijkingen met 3 onbekenden a, b en c. En dus valt dat stelsel op te lossen.

Wat dan nog overblijft is a, b en c uitdrukken in p

Dus:
a=−4+2c

invullen in beide andere:
−(−4+2c)+b+(p+4)∙c=10
(−4+2c)−p∙b−5c=−10

b uitrekenen:
−(−4+2c)+b+(p+4)∙c=10
⇔ +4−2c+b+p∙c+4∙c=10
⇔ b=6−2c−pc ⇔ b=6−(2+p)c

invullen:
(−4+2c)−p∙(6−2c−pc)−5c=−10
⇔ −4+2c−6p+2pc+p²c−5c=−10
⇔ (+2+2p+p²−5)c=−10+4
⇔ c=(−6)÷(p²+2p−3)

en vervolgens maar weer terug rekenen.

uit de berekening van c komt nu een vervelende voorwaarde naar boven, (p²+2p−3) mag niet 0 zijn dus (p+3)(p−1) mag niet 0 zijn... p≠1 en p≠−3

En dat laatste ontkracht mijn eerste bewering, maar ik heb nu even geen zin meer om dat allemaal terug te rekenen;

• p invullen voor p=1 en nog maals voor p=−3
• en dan beide stelsels oplossen

succes daar mee

[David]

Allereerst geldt natuurlijk dat voor wat voor waarden je voor p ook maar kiest, je een stelsel krijgt van drie liniaire vergelijkingen met 3 onbekenden a, b en c. En dus valt dat stelsel op te lossen.

En dat laatste ontkracht mijn eerste bewering, maar ik heb nu even geen zin meer om dat allemaal terug te rekenen;

een stelsel met 3 lineaire vergelijkingen met 3 onbekenden is helaas ook niet altijd op te lossen.
Ander tegenvoorbeeld:

Zie het volgende stelsel:


Tel de bovenste en de middelste bij elkaar op:


Trek de onderste ervanaf:

???

[pppp]

Allereerst geldt natuurlijk dat voor wat voor waarden je voor p ook maar kiest, je een stelsel krijgt van drie liniaire vergelijkingen met 3 onbekenden a, b en c. En dus valt dat stelsel op te lossen.

Wat dan nog overblijft is a, b en c uitdrukken in p

Dus:
a=−4+2c

invullen in beide andere:
−(−4+2c)+b+(p+4)∙c=10
(−4+2c)−p∙b−5c=−10

b uitrekenen:
−(−4+2c)+b+(p+4)∙c=10
⇔ +4−2c+b+p∙c+4∙c=10
⇔ b=6−2c−pc ⇔ b=6−(2+p)c

invullen:
(−4+2c)−p∙(6−2c−pc)−5c=−10
⇔ −4+2c−6p+2pc+p²c−5c=−10
⇔ (+2+2p+p²−5)c=−10+4
⇔ c=(−6)÷(p²+2p−3)

en vervolgens maar weer terug rekenen.

uit de berekening van c komt nu een vervelende voorwaarde naar boven, (p²+2p−3) mag niet 0 zijn dus (p+3)(p−1) mag niet 0 zijn... p≠1 en p≠−3

En dat laatste ontkracht mijn eerste bewering, maar ik heb nu even geen zin meer om dat allemaal terug te rekenen;

• p invullen voor p=1 en nog maals voor p=−3
• en dan beide stelsels oplossen

succes daar mee

Poeh... Ik heb nu echt een zeer vervelend duh momentje. Ik loop al sinds ik wakker ben geworden, net voor ik het eerste bericht plaatste (dank je wel vriendin met nachtmerrie), met deze vraag in m'n hoofd en op de een of andere manier bleef ik er maar op haken. Terwijl ik nog andere vraagstukken heb gemaakt waar uiteraard ook gewoon eliminatie, substitutie en wat andere dingen in zaten die je bij lineaire algebra zou verwachten.
In ieder geval bedankt, morgenochtend ga ik weer verder, maar zal ik eerst deze nog eens uitwerken.