kettingregel - hogere afgeleiden

idefix · Bericht door **idefix** » 04 okt 2010, 17:25

Hierben ik al weer. De kettingregel luidt:

als y = f(u) en als u= g(x):

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ (1)

De vraag is: bepaal de tweede afgeleide:

$\frac{d^2y}{dx^2}$

Ik pas de productregel toe op de formule (1):

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{du}{dx}$

Maar de oplossing zou zijn:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \cdot {(\frac{du}{dx})}^2$

Wat doe ik mis?

Bericht door **op=op** » 04 okt 2010, 19:00

idefix schreef: Ik pas de productregel toe op de formule (1):

En daarvoor heb je 2 keer de kettingregel nodig.

idefix · Bericht door **idefix** » 04 okt 2010, 20:05

Dank je wel, op=op, ik heb een voorbeeld gemaakt en ik zie nu ook in dat je de binnenste functie nog eens moet afleiden (volgens de kettingregel).

Alleen snap ik nog steeds niet hoe je aan volgende algemene formule komt:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \cdot {(\frac{du}{dx})}^2$

uitgaande van :

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Ik heb er echt al op zitten zoeken. Normaal helpt een nachtje erover slapen ook al eens, maar deze keer niet.

Bericht door **op=op** » 05 okt 2010, 07:43

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
Dan is
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{du}\right)\cdot\frac{du}{dx} + \frac{dy}{du}\frac{d}{dx}\left(\frac{du}{dx}\right)$
Nu is
$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{du}\right) = \frac{d^2y}{du^2}\cdot\frac{du}{dx}$
en
$\frac{d}{dx}\left(\frac{du}{dx}\right) = \frac{d^2u}{dx^2}$ .

idefix · Bericht door **idefix** » 05 okt 2010, 16:12

Hey, dank je wel. Ik "zie" het nu.

Wiskundeforum

kettingregel - hogere afgeleiden

kettingregel - hogere afgeleiden

Re: kettingregel - hogere afgeleiden

Re: kettingregel - hogere afgeleiden

Re: kettingregel - hogere afgeleiden

Re: kettingregel - hogere afgeleiden