Vraagje ivm merkwaardige producten

Pebble · Bericht door **Pebble** » 10 okt 2010, 19:11

Hoi,

Ik zal maar meteen met de deur in huis vallen.

Ik zit al heel de avond m'n hoofd te breken over iets. Nu ben ik wat met merkwaardige producten aan het spelen en nu ik ergens op gestoten waar ik langzaamaan gek van aan het worden ben.

$(a+b)^2(a+b)^3=(a+b)^5$ Dit is te simpel

maar

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

en

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

dus kan men ook schrijven

$(a+b)^2(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

wat na het uitwerken uitdraait op het (in mijn ogen toch) elegante

$a^5+5a^4b+9a^3b^2+9a^2b^3+5ab^4+b^5$

dus zou

$a^5+5a^4b+9a^3b^2+9a^2b^3+5ab^4+b^5=(a+b)^5$

moeten zijn.

Maar dit is jammer genoeg niet het geval, Het resultaat van de uitgewerkte notatie is altijd kleiner dan de korte notatie. Ziedaar mijn frustratie.

Nu vroeg ik mezelf af, ben ik het die in de fout is gegaan, of zit er een "plafond" aan de merkwaardige producten waardoor zulke opstellingen instorten bij te hoge exponenten?

Bericht door **arie** » 10 okt 2010, 19:18

Je bent er bijna, alleen dit:

$a^5+5a^4b+9a^3b^2+9a^2b^3+5ab^4+b^5$

moet dit zijn:

$a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$

Ga zo nodig nog een keer goed alle vermenigvuldigingen na die a^3 b^2 opleveren in je product

$(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

PS:
Er is geen plafond: merkwaardige produkten gaan onbeperkt door.
Kijk ook eens naar pagina 53 van het basisboek wiskunde:
http://books.google.nl/books?id=xKBPXks ... on&f=false
Daar staat aangegeven hoe je alle coefficienten handig kunt bepalen.

EDIT: of natuurlijk naar de uitleg van meneer van Hoesel hieronder (wsch gelijktijdig bericht)

Bericht door **meneer van Hoesel** » 10 okt 2010, 19:41

en nee, er zit geen plafond aan je 'merkwaardige product'...

over het algemeen geldt voor $(a+b)^n$ , dat je het kunt schrijven als

$(a+b)^n=\bigl(\!\begin{smallmatrix}n\\0\end{smallmatrix}\!\bigr)a^nb^0+\bigl(\!\begin{smallmatrix}n\\1\end{smallmatrix}\!\bigr)a^{n-1}b^1+\bigl(\!\begin{smallmatrix}n\\2\end{smallmatrix}\!\bigr)a^{n-2}b^2+...+\bigl(\!\begin{smallmatrix}n\\n\end{smallmatrix}\!\bigr)a^{0}b^n$

waarbij $\bigl(\!\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}\!\bigl)$ de zogenaamde 'binominaal coëfficient' is

korter geschreven: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$

Pebble · Bericht door **Pebble** » 10 okt 2010, 19:50

Foutje ontdekt, waanzinnig hoe je je soms kan blindstaren op het grote geheel.

Bedankt voor de uitleg!

Wiskundeforum

Vraagje ivm merkwaardige producten

Vraagje ivm merkwaardige producten

Re: Vraagje ivm merkwaardige producten

Re: Vraagje ivm merkwaardige producten

Re: Vraagje ivm merkwaardige producten