stijgende functie - aantal wortels

[idefix]

Wat die voorzichtigheid betreft, de volgende vb:
4>3 => 4²>3²
4>-5 => 4²>(-5)²
-4<5 => (-4)²<5²
-4<-3 => (-4)²<(-3)²
Ga zelf na wat er mis kan gaan.

Wel is altijd waar: |a|>|b| <=> |a|²>|b|² en |a|<|b| <=> |a|²<|b|²

als a > b, met b < 0 en |b| > |a|, kun je niet zomaar beide leden van de ongelijkheid kwadrateren.
Evenzo: als a < b, met a < 0 en |a| > |b| kun je evenmin beide leden van de ongelijkheid kwadrateren.
In beide gevallen moet je het ongelijkheidsteken van richting veranderen.

Verdorie, dat had ik over het hoofd gezien.

[SafeX]

Nu nog de tweede mogelijkheid: a+b<0 en a-b<0 (*)
Bekijk: g(x)=f(-x)=-x³-px+q
Ga na dat voor drie nulptn weer de eis p<0 geldt. Bepaal de opl x1 en x2 van g'(x)=0.
Bepaal de extremen en laat zien dat de eis g(x1)<0 en g(x2)>0 dus het product g(x1)*g(x2)<0 weer de bekende ongelijkheid in p en q oplevert.
Noem weer a=... en b=... en laat zien dat de ongelijkheden (*) voldoen.

[idefix]

Hallo SafeX,

g(x) = -x³ - px + q = -x(x² + p) + q
g'(x) = -3x² - p

nulpunten van g'(x):



aangezien g'(x) een bergparabool als grafiek heeft (want -3 < 0)
kunnen we zeggen:

links van x1: g'(x) is negatief, dus g(x) is dalend
tussen x1 en x2: g'(x) is positief, dus g(x) is stijgend
rechts van x2: g'(x) is negatief, dus g(x) is dalend
Dus x1 moet een minimum zijn van g(x) en x2 moet een maximum zijn.
g(x) heeft dus 3 nulpunten als g(x1) < 0 en g(x2) > 0
Dus g(x1)*g(x2) < 0


Op een gelijkaardige manier vinden we:

Invullen in de ongelijkheid geeft:

Herschikken geeft:




Met

en

hebben we: a + b < 0 want g(x1) < 0

a - b < 0, ingevuld geeft:

beide leden delen door -1:

dus: g(x2) > 0

[SafeX]

Wel nu hebben we deze opgave uitputtend behandeld. Maar ik hoop dat je ingezien hebt dat de gevolgde gedachtegang niet zo ingewikkeld is.
Wat heb je (naar je gevoel) geleerd?

[idefix]

Ik heb vooral geleerd dat jij enorm veel geduld hebt!
Alle gekheid op een stokje: dit is voor mij een zeer leerrijke opgave geweest. Ik zag er eerst werkelijk geen beginnen aan. Ik heb geleerd dat elk gegeven belangrijk kan zijn, ook gegevens die op het eerste zicht geen enkele rol lijken te spelen (in dit geval bijvoorbeeld: de afgeleide van de functie heeft een dalparabool als grafiek). Het oplossen van zo een vraag doet me denken aan detective-werk: elk detail kan belangrijk zijn.
Bovendien heb ik geleerd op te moeten letten voor addertjes onder het gras. In deze draad was dat bijvoorbeeld dat a > b => a² > b²: dit is echter niet altijd geldig. Vooraleer ik zoiets aanneem, moet ik dit eens nagaan voor alle gevallen.
Het belangrijkste wat ik geleerd heb, is wellicht dat ik toch eerst wat harder moet proberen als ik ergens niet uit geraak. En ALLE middelen gebruiken die ik tot mijn beschikking (=kennis) heb.

Heel erg bedankt voor de hulp in deze draad. Ik voelde me bij momenten wel wat dom, en ik ben af en toe de draad verloren, maar al bij al was het achteraf bekeken inderdaad niet zo ingewikkeld (ik heb de opgave vandaag nog eens in haar geheel overgedaan).

PS: je hebt een prive-bericht

[SafeX]

OK! Succes.