stijgende functie - aantal wortels

[idefix]

Dit is prima.
Heb je het gevoel dat je dit hebt begrepen ... , dit is misschien een overbodige vraag, maar ik stel 'm vanwege je eerste reactie op de oplossing van arie.

Ja, ik snap wat ik hier doe.

[idefix]

De 'vreemde dingen' zijn er uit. Prima!
Nu lijkt het alsof dit ook een goede methode is.
Wat denk je er zelf van?
Waarom heb ik hier het negatieve min niet nodig?

Ik denk dat dit een deel van de goede methode is: als ik de beginconditie ook aantoon, nl. dat f(x) drie reële nulpunten heeft. (Dit is hetzelfde als in arie's eerste post)

De afgeleide f '(x) = 0 als 3x² + p = 0, ofwel:

waarbij p<0 moet zijn en a gedefinieerd als


f '(x) is een dalparabool, dus:
- links van x = -a is f '(x) positief dus f(x) stijgend
- tussen x = -a en x = a is f '(x) negatief dus f(x) dalend
- rechts van x = a is f '(x) positief dus f(x) stijgend

waardoor:
- f(-a) een maximum is voor f(x)
- f(a) een minimum is voor f(x)

Indien
f(-a) > 0 EN f(a) < 0
zijn er dus precies 3 oplossingen

dus ik moet idd ook nog f(a) < 0 aantonen (f(-a) > 0 heb ik hierboven reeds aangetoond).










Dus ook in het geval f(a) < 0, is 4p³ + 27q² < 0

Edit: dus hiermee is aangetoond dat als 4p³ + 27q² < 0, dat f(x) dan drie reële nulpunten heeft.

[SafeX]

Heb je een GRM?
Teken in één figuur f(x)=x³+px+q, voor p=-3 en q=-3,-2,-1,0,1,2,3.
Wat zegt je dat?
Als f(x1)>0 volgt dan dat f(x2)<0?

[idefix]

Heb je een GRM?
Teken in één figuur f(x)=x³+px+q, voor p=-3 en q=-3,-2,-1,0,1,2,3.
Wat zegt je dat?
Als f(x1)>0 volgt dan dat f(x2)<0?

Ik heb geen GRM, maar ik heb deze site (net ontdekt en) gebruikt.

als p = -3
dan moet q > -2 en < 2, anders is niet voldaan aan 4p³ + 27q² < 0

Als q < -2: f(x1) < 0 en f(x2) < 0: f(x) heeft 1 nulpunt
als q = -2: f(x1) = 0 en f(x2) < 0: f(x) heeft 2 nulpunten
als q > -2: en < 2: f(x1) > 0 en f(x2) < 0: f(x) heeft 3 nulpunten
als q = 2: f(x1) > 0 en f(x2) = 0: f(x) heeft 2 nulpunten
als q > 2: f(x1) > 0 en f(x2) > 0: f(x) heeft 1 nulpunt

Dus enkel als f(x1) > 0 EN f(x2) < 0 is voldaan aan 4p³ + 27q² < 0 EN enkel dan heeft f(x) 3 nulpunten.

Ik heb in de bovenstaande posts (met de voor mij moeilijke berekeningen) reeds aangetoond dat
als (f(x1) > 0, dat dan 4p³ + 27q² < 0
EN als f(x2) < 0: dat dan ook 4p³ + 27q² < 0

Daarmee heb ik dus aangetoond dat
als f(x)=x³ + px + q drie nulpunten heeft, dat dan 4p³ + 27q² < 0

[SafeX]

Mooi!
Dan nu de vraag (die ik al eerder stelde): volgt uit de eis f(x1)>0 noodzakelijk dat f(x2)<0?
Welke stap nam je om de gevraagde voorwaarde te krijgen?

Opm: ik kan je ook Peanut Software aanbevelen (helemaal gratis) en daarin Winplot.

[idefix]

Mooi!
Dan nu de vraag (die ik al eerder stelde): volgt uit de eis f(x1)>0 noodzakelijk dat f(x2)<0?
Welke stap nam je om de gevraagde voorwaarde te krijgen?

Opm: ik kan je ook Peanut Software aanbevelen (helemaal gratis) en daarin Winplot.

volgt uit de eis f(x1)>0 noodzakelijk dat f(x2)<0? Neen.
Welke stap nam je om de gevraagde voorwaarde te krijgen? Ik heb bij een gegeven p een gepaste range voor q genomen, nl. zo dat aan 4p³ +27q² < 0 voldaan is. Dan volgt automatisch dat uit f(x1)>0 volgt dat f(x2)<0.

Opm: dank je voor de tip im Peanut Software, maar ik heb geen windows. Ik had deze morgen al GNUPlot geïnstalleerd en geprobeerd, maar dit programma leer je niet zomaar eventjes in een kwartiertje...

[SafeX]

Indien
f(-a) > 0 EN f(a) < 0
zijn er dus precies 3 oplossingen

dus ik moet idd ook nog f(a) < 0 aantonen (f(-a) > 0 heb ik hierboven reeds aangetoond).





<=(*)




Dus ook in het geval f(a) < 0, is 4p³ + 27q² < 0

Edit: dus hiermee is aangetoond dat als 4p³ + 27q² < 0, dat f(x) dan drie reële nulpunten heeft.

Wat doe je, bij de regel met het sterretje (rood) om de volgende regel te verkrijgen?

Waarom bereken je niet (-p/3+p) eerste regel?

[idefix]

Wat doe je, bij de regel met het sterretje (rood) om de volgende regel te verkrijgen?

Waarom bereken je niet (-p/3+p) eerste regel?

De eerste vraag (ik ga één vraag per keer beantwoorden, want ik ben de draad een beetje kwijt):

ik pas hier toe:


Doe ik hier iets fout?

[SafeX]

ik pas hier toe:


Doe ik hier iets fout?

Nee, maar je moet je bewust zijn van wat je doet. Je kwadrateert dus, hier ...
Stel: a>b, kwadrateren geeft a²>b² <=> a²-b²>0 <=> (a-b)(a+b)>0
Dit laatste is waar als: [a-b>0 en a+b>0] of [a-b<0 en a+b<0]

Passen we dit toe op onze ongelijkheid: met p<0 en

dan is a+b>0 en a-b>0, het eerste betekent f(x1)>0 en het laatste betekent in feite dat f(x2)<0 maw door te kwadrateren introduceer je de tweede (belangrijke) ongelijkheid. Ga dit alles zorgvuldig na.
Graag je commentaar ...

[idefix]

Nee, maar je moet je bewust zijn van wat je doet. Je kwadrateert dus, hier ...
Stel: a>b, kwadrateren geeft a²>b² <=> a²-b²>0 <=> (a-b)(a+b)>0
Dit laatste is waar als: [a-b>0 en a+b>0] of [a-b<0 en a+b<0]

Passen we dit toe op onze ongelijkheid: met p<0 en

dan is a+b>0 en a-b>0, het eerste betekent f(x1)>0 en het laatste betekent in feite dat f(x2)<0 maw door te kwadrateren introduceer je de tweede (belangrijke) ongelijkheid. Ga dit alles zorgvuldig na.
Graag je commentaar ...

Dus a-b > 0 ingevuld geeft:

Beide leden delen door -1 geeft (met omkering van de ongelijkheid):



dus: f(x2)<0

Nu begrijp ik ook je vraag "Waarom heb ik hier het negatieve min niet nodig?" (in jouw laatste post op pagina 1 van dit topic). Omdat, door aan te tonen dat f(x1) > 0, ook impliciet aangetoond wordt dat f(x2) < 0

Ik vermoed dat het dit was wat je wil horen (lezen)?

[SafeX]

In ieder geval wilde ik je laten begrijpen wat je aan het doen bent.
En nu vraag ik je terug te gaan naar het begin, waar ik de gedachtengang heb aangeduid.
En nogmaals de vraag: welke methode is nu de goede methode?

[idefix]

En nogmaals de vraag: welke methode is nu de goede methode?

De methode waarbij je aantoont dat f(x1) > 0
Daaruit volgt vanzelf namelijk dat f(x2) < 0
Deze methode is juist.

De andere methode (ik hoop dat je die bedoelt waar aangetoond wordt dat f(x1)f(x2) < 0) is ook juist, want
f(x1)f(x2) < 0 als f(x1)> 0 en f(x2) < 0
maar ook geldt:
f(x1)f(x2) < 0 als f(x1) < 0 en f(x2) > 0, wat niet kan omdat we al weten dat f(x1) een maximum is (omdat f''(x1) <0)
Dus beide methodes zijn juist!
Correct?

[SafeX]

Nee, want je hebt gezien (aan de grafieken) dat f(x1)>0 niet betekent dat er drie nulptn zijn, je hebt dus f(x2)<0 dan ook nodig.
Dat door kwadrateren toch die tweede voorwaarde wordt meegenomen zal je dan toch extra moeten aantonen.
De tweede methode is daarmee de kortste methode.

Overigens heb je nu gezien dat kwadrateren tot extra voorzichtigheid moet leiden
Bovendien houdt dat nog een tweede mogelijkheid in. Heb je door hoe dat zit?

[idefix]

Overigens heb je nu gezien dat kwadrateren tot extra voorzichtigheid moet leiden
Bovendien houdt dat nog een tweede mogelijkheid in. Heb je door hoe dat zit?

Deze ongelijkheid is waar als: (a-b>0 EN a+b>0) (deze mogelijkheid hebben we aangetoond)
Maar het is ook waar als:
(a-b <0 EN a+b <0)
Bedoel je dit?

Deze laatste voorwaarden hebben we niet nodig want:

is waar als (a-b>0 EN a+b>0) OF (a-b <0 EN a+b <0). Dus één van de twee voorwaarden is voldoende. De tweede voorwaarde zou trouwens betekenen dat f(x1) < 0 en f(x2) > 0 wat een tegenspraak is met het feit dat f(x1) een maximum is (omdat f''(x1) < 0)
Bedoelde je deze tweede mogelijkheid?

[SafeX]

Wat die voorzichtigheid betreft, de volgende vb:
4>3 => 4²>3²
4>-5 => 4²>(-5)²
-4<5 => (-4)²<5²
-4<-3 => (-4)²<(-3)²
Ga zelf na wat er mis kan gaan.

Wel is altijd waar: |a|>|b| <=> |a|²>|b|² en |a|<|b| <=> |a|²<|b|²

Op je andere vraag kom ik nog terug.