Dag iedereen!
Volgende vraag had ik wat problemen mee:
gebruik inductie om aan te tonen dat de som van de eerste n oneven getallen gelijk is aan n². Maw, toon aan:
1+3+5+...+(2n-1)=n²
Alvorens hieraan te beginnen lees ik de opgave eerst grondig door, en daar viel me al een onduidelijkheid op.
"de som van de eerste n oneven getallen..."
hoe moet ik die "eerste" interpreteren?
Er zijn nog enkele vragen die ik hierbij heb maar die stel ik later dan wel om het niet te onoverzichtelijk te houden
inductie
Re: inductie
Hallo brxpower,
Je ziet misschien al dat geldt: 1=1^2=n^2 waar n=1
Je gaat het met inductie aantonen dat het ook geldt voor n=2, n=3 en n=4.
Begin eens aan te tonen dat de laatste term gelijk is aan
n^2-(n-1)^2. Hoe helpt dat je?
Je begint te tellen bij 1 en neemt telt alle oneven getallen.
de som van de eerste 8 oneven getallen is dus
1+3+5+7+9+11+13+15
8 oneven getallen, vanaf 1 geteld.
Snap je het zo beter?
Dat is hetzelfde als:Je schreef:gebruik inductie om aan te tonen dat de som van de eerste n oneven getallen gelijk is aan n². Maw, toon aan:
1+3+5+...+(2n-1)=n²
Je ziet misschien al dat geldt: 1=1^2=n^2 waar n=1
Je gaat het met inductie aantonen dat het ook geldt voor n=2, n=3 en n=4.
Begin eens aan te tonen dat de laatste term gelijk is aan
n^2-(n-1)^2. Hoe helpt dat je?
Je weet waarschijnlijk dat met een "oneven getal" een geheel getal bedoelt wordt dat als je het door twee deelt, het getal dan niet meer geheel is.Je schreef:"de som van de eerste n oneven getallen..."
Je begint te tellen bij 1 en neemt telt alle oneven getallen.
de som van de eerste 8 oneven getallen is dus
1+3+5+7+9+11+13+15
8 oneven getallen, vanaf 1 geteld.
Snap je het zo beter?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
Bedankt voor je snelle reactie daco/david!
die 'eerste' blijf ik misinterpreteren maar dat staat me niet in de weg om de vraag te proberen op te lossen.
Via inductie zijn er, zoals mijn prof zegt, 2 stappen:
1. Verifieren dat de eigenschap geldig is voor kleine n-waarden
2. Neem aan dat de eig. geldig is voor n = N (inductiehypothese), en leid hieruit af dat de eig. dan ook geldig is voor n = N+1
Dus:
STAP 1
n=1: 1=1²
n=2: 1+3=2²
n=3: 1+3+5=3²
n=4 1+3+5+7=4²
STAP 2
we nemen aan dat de eig geldig is voor n=N, dan moet die ook geldig zijn voor n=N+1 en omgekeerd.
We gaan dit na:
1+3+5+...+ 2(N+1)-1
Wat ik gedaan heb is de n gewoon vervangen door N+1, dit leek me toch wat gevraagd werd.
Dit is jammer genoeg verkeerd!
die 'eerste' blijf ik misinterpreteren maar dat staat me niet in de weg om de vraag te proberen op te lossen.
Via inductie zijn er, zoals mijn prof zegt, 2 stappen:
1. Verifieren dat de eigenschap geldig is voor kleine n-waarden
2. Neem aan dat de eig. geldig is voor n = N (inductiehypothese), en leid hieruit af dat de eig. dan ook geldig is voor n = N+1
Dus:
STAP 1
n=1: 1=1²
n=2: 1+3=2²
n=3: 1+3+5=3²
n=4 1+3+5+7=4²
STAP 2
we nemen aan dat de eig geldig is voor n=N, dan moet die ook geldig zijn voor n=N+1 en omgekeerd.
We gaan dit na:
1+3+5+...+ 2(N+1)-1
Wat ik gedaan heb is de n gewoon vervangen door N+1, dit leek me toch wat gevraagd werd.
Dit is jammer genoeg verkeerd!
Re: inductie
David inmiddels 
Je hebt nu gezien dat geldt:
1+3+5+...+2n-1=n^2 geldt voor n=4.
Druk 2(N+1)-1 eens uit in n (je stelde n=N+1)
tel die uitdrukking aan beide kanten op.
Geldt er dan:
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)^2?
Je hebt nu gezien dat geldt:
1+3+5+...+2n-1=n^2 geldt voor n=4.
Druk 2(N+1)-1 eens uit in n (je stelde n=N+1)
tel die uitdrukking aan beide kanten op.
Geldt er dan:
1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)^2?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
Druk 2(N+1)-1 eens uit in n (je stelde n=N+1)
Dan wordt dit toch gewoon 2n-1... zoals oorspronkelijk?
Dan wordt dit toch gewoon 2n-1... zoals oorspronkelijk?
Re: inductie
1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2 (voor hele n, 
) tel aan beide kanten (n+1)^2-n^2 op
1+3+5+7+...+(2n-1)+((N+1)^2-N^2)=n^2+((N+1)^2-N^2)
Je toont nu aan dat als n met 1 toeneemt, de vergelijking dan nog steeds geldt.
Probeer anders eens iets te falsificeren met inductie voor elke n:
1+4+7+...+3n-2=n^2
Hoe toon je aan dat dit voor elke n>1 niet juist is?
1+3+5+7+...+(2n-1)+((N+1)^2-N^2)=n^2+((N+1)^2-N^2)
Je toont nu aan dat als n met 1 toeneemt, de vergelijking dan nog steeds geldt.
Probeer anders eens iets te falsificeren met inductie voor elke n:
1+4+7+...+3n-2=n^2
Hoe toon je aan dat dit voor elke n>1 niet juist is?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
Ik kan echt niet meer volgen, david.
STAP 1
n=1: 1=1²
n=2: 1+3=2²
n=3: 1+3+5=3²
n=4 1+3+5+7=4²
We weten dus dat de eigenschap juist is voor elke n element van [1,4]
Maar zo kan je een eigenschap niet bewijzen, het moet geldig zijn voor elke n. Dus: stap 2
STAP 2
Laten we de hypothese stellen dat de stelling juist is voor n=N. We kunnen dit controleren door de berekeningen uit te voeren voor n=N+1, want als die kloppen, weten we dat de stelling zeker juist is voor n=N en dus elke n.
We gaan dit na:
inductiehypothese toepassen:
1+3+5+...+(2N-1)=N²
De hypothese controleren met n=N+1:
1+3+5+...+(2N+1-1) = (N+1)²
Volgens mij ga ik bij het laatste in de fout, waar weet ik niet. Hoe het wel moet al helemaal niet.
Bedankt david voor de moeite die je er in steekt, maar het lukt me echt niet om te volgen met jouw redenering.
STAP 1
n=1: 1=1²
n=2: 1+3=2²
n=3: 1+3+5=3²
n=4 1+3+5+7=4²
We weten dus dat de eigenschap juist is voor elke n element van [1,4]
Maar zo kan je een eigenschap niet bewijzen, het moet geldig zijn voor elke n. Dus: stap 2
STAP 2
Laten we de hypothese stellen dat de stelling juist is voor n=N. We kunnen dit controleren door de berekeningen uit te voeren voor n=N+1, want als die kloppen, weten we dat de stelling zeker juist is voor n=N en dus elke n.
We gaan dit na:
inductiehypothese toepassen:
1+3+5+...+(2N-1)=N²
De hypothese controleren met n=N+1:
1+3+5+...+(2N+1-1) = (N+1)²
Volgens mij ga ik bij het laatste in de fout, waar weet ik niet. Hoe het wel moet al helemaal niet.
Bedankt david voor de moeite die je er in steekt, maar het lukt me echt niet om te volgen met jouw redenering.
Re: inductie
Als je in:
1+3+5+7+...+(2n-1)+((N+1)^2-N^2)=n^2+((N+1)^2-N^2)
((N+1)^2-N^2) uitwerkt,
wordt dat: (N^2+2N+1)-N^2=2N+1. Geeft:
1+3+5+7+...+(2n-1)+2N+1=n^2+2N+1
1+3+5+...+(2(N+1)-1) = (N+1)²
Als je dat uitwerkt, krijg je:
1+3+5+...+(2N+1) = (N+1)²
Als je dan invult= N=n-1 (wat neerkomt op n=N+1) kom je weer goed uit, niet?
Het gaat er mede om dat je naar de toename kijkt als n, met 1 wordt verhoogd
1+3+5+7+...+(2n-1)+((N+1)^2-N^2)=n^2+((N+1)^2-N^2)
((N+1)^2-N^2) uitwerkt,
wordt dat: (N^2+2N+1)-N^2=2N+1. Geeft:
1+3+5+7+...+(2n-1)+2N+1=n^2+2N+1
Hier zouden haakjes moeten om N+1Je schreef:1+3+5+...+(2N+1-1) = (N+1)²
1+3+5+...+(2(N+1)-1) = (N+1)²
Als je dat uitwerkt, krijg je:
1+3+5+...+(2N+1) = (N+1)²
Als je dan invult= N=n-1 (wat neerkomt op n=N+1) kom je weer goed uit, niet?
Het gaat er mede om dat je naar de toename kijkt als n, met 1 wordt verhoogd
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
Als ik verder werk op dat laatste van jou:
1+3+5+...+2(N+1)-1=(N+1)²
<=> 1+3+5+...+2N+1=N²+2N+1
<=> 1+3+5=N²
...
2 opmerkingen hierbij(gelieve ook te antwoorden via deze indeling)
1. Deze uitwerking van mij slaat nergens op, wat doe ik fout?
2. Jouw uitwerking snap ik wel, maar ik versta niet waarom je het zo doet. Je moet toch de n vervangen door N+1... en die uitdrukking die je er dan nog bijvoegt, vanwaar komt die?
heeel erg bedankt!
1+3+5+...+2(N+1)-1=(N+1)²
<=> 1+3+5+...+2N+1=N²+2N+1
<=> 1+3+5=N²
...
2 opmerkingen hierbij(gelieve ook te antwoorden via deze indeling)
1. Deze uitwerking van mij slaat nergens op, wat doe ik fout?
2. Jouw uitwerking snap ik wel, maar ik versta niet waarom je het zo doet. Je moet toch de n vervangen door N+1... en die uitdrukking die je er dan nog bijvoegt, vanwaar komt die?
heeel erg bedankt!
Re: inductie
Graag gedaan zover,
1. Op zich ben je goed op weg. 1+3+5 moet ook weer staan: "+...+2N-1" aan de linkerkant.
<=> 1+3+5+...+2N-1+2N+1=N²+2N+1 (trek aan beide kanten (2N+1) af
<=> 1+3+5+...+2N-1+(2N+1)-(2N+1)=(N+1)²-(2N+1)
<=> 1+3+5+...+2N-1=N²
2.
Het idee van inductie is dat je gaat met behulp van het volgende gaat bewijzen:
Als de eigenschap geldt voor alle n, geldt het ook voor alle n+1
Je stelt dus vast dat
Dus als je wilt bewijzen dat
1+3+5+...+2n-1=n²
moet ook gelden:
1+3+5+...+2n-1+2(n+1)-1=(n+1)²
Ik wil dus dat er aan de rechterkant (n+1)² staat i.p.v. n². Dat kan je doen door (n+1)² op te tellen en n² af te trekken. Dat komt neer op n²+((n+1)²-n²) voor de rechterzijde. Daar werk je de rechterkant uit, en krijg je n²+2n+1. Daar herken hopelijk je een merkwaardig product in: (n+1)². Verwondert dat je dat je daarop uitkomt?
Voor de linkerkant hebben we er 2(n+1)-1 bij opgeteld. Uitgewerkt is dat 2n+1. Dat komt er links bij.
Wat blijkt? dat kwam er recht ook bij. want n²+(2n+1)=(n+1)²
Je zou het dus ook zo kunnen benaderen:
1+3+5+...+2n-1=n² als dit geldt, en dat geldt voor n=4, dan geldt ook:
1+3+5+...+2n-1+2(n+1)-1=n²+2(n+1)-1
en
n²+2(n+1)-1 moet gelijk zijn aan (n+1)² en dat is zo.
1. Op zich ben je goed op weg. 1+3+5 moet ook weer staan: "+...+2N-1" aan de linkerkant.
Je kan ook schrijven: (voor je eigen begrip)Je schreef:<=> 1+3+5+...+2N+1=N²+2N+1
<=> 1+3+5=N²
<=> 1+3+5+...+2N-1+2N+1=N²+2N+1 (trek aan beide kanten (2N+1) af
<=> 1+3+5+...+2N-1+(2N+1)-(2N+1)=(N+1)²-(2N+1)
<=> 1+3+5+...+2N-1=N²
2.
Het idee van inductie is dat je gaat met behulp van het volgende gaat bewijzen:
Als de eigenschap geldt voor alle n, geldt het ook voor alle n+1
Je stelt dus vast dat
Dus als je wilt bewijzen dat
1+3+5+...+2n-1=n²
moet ook gelden:
1+3+5+...+2n-1+2(n+1)-1=(n+1)²
Ik wil dus dat er aan de rechterkant (n+1)² staat i.p.v. n². Dat kan je doen door (n+1)² op te tellen en n² af te trekken. Dat komt neer op n²+((n+1)²-n²) voor de rechterzijde. Daar werk je de rechterkant uit, en krijg je n²+2n+1. Daar herken hopelijk je een merkwaardig product in: (n+1)². Verwondert dat je dat je daarop uitkomt?
Voor de linkerkant hebben we er 2(n+1)-1 bij opgeteld. Uitgewerkt is dat 2n+1. Dat komt er links bij.
Wat blijkt? dat kwam er recht ook bij. want n²+(2n+1)=(n+1)²
Je zou het dus ook zo kunnen benaderen:
1+3+5+...+2n-1=n² als dit geldt, en dat geldt voor n=4, dan geldt ook:
1+3+5+...+2n-1+2(n+1)-1=n²+2(n+1)-1
en
n²+2(n+1)-1 moet gelijk zijn aan (n+1)² en dat is zo.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
bedankt david voor je hulp, het is duidelijk nu.
Re: inductie
Graag gedaan, Brxpower, voor jou is het duidelijk.
Voor degenen voor wie mijn uitleg nog niet helemaal duidelijk was, zal ik het op een andere manier proberen.
Zo werk ik met inductie:
Gegeven: 2 functies f(n) en g(n), in dit geval: f(n)=2n-1 en g(n)=n^2
Te bewijzen:
+f(2)+f(3)+...+f(n)=g(n))
Ofwel:
1+3+5+7+...+2n-1=n^2
Voor n=4 hebben we het gecontroleerd:
immers:
+f(2)+f(3)+f(4)=1+3+5+7=16=4^2=g(4))
Dus we noteren:
Voor n=4 geldt:
Nu de inductiestap:
Tel aan beide kanten f(n+1) op, dus we hebben:
+f(2)+f(3)+...+f(n)+f(n+1)=g(n)+f(n+1))
Als het te bewijzen waar is, moet gelden:
+f(2)+f(3)+...+f(n)+f(n+1)=g(n+1)=g(n)+f(n+1))
Ofwel
-g(n)=f(n+1))
Invullen en uitwerken.
^2-n^2=2n+1)
Dat klopt. Dus
Voor degenen voor wie mijn uitleg nog niet helemaal duidelijk was, zal ik het op een andere manier proberen.
Zo werk ik met inductie:
Gegeven: 2 functies f(n) en g(n), in dit geval: f(n)=2n-1 en g(n)=n^2
Te bewijzen:
Ofwel:
1+3+5+7+...+2n-1=n^2
Voor n=4 hebben we het gecontroleerd:
immers:
Dus we noteren:
Voor n=4 geldt:
Nu de inductiestap:
Tel aan beide kanten f(n+1) op, dus we hebben:
Als het te bewijzen waar is, moet gelden:
Ofwel
Invullen en uitwerken.
Dat klopt. Dus
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: inductie
Even een opmerking nog, waarom zou je voor meer dan één waarde de hypothese moeten controleren? (stap 1). M.a.w. waarom N=1, N=2, N=3 en N=4 alle controleren?
Alleen N=1 volstaat volgens mij.
Alleen N=1 volstaat volgens mij.
Re: inductie
Niemand die het verbiedt, maar het is geen eis. Echter de eerste waarde van n moet.
Re: inductie
Klopt, en je kan het ook gebruiken als "sanity-check," Begrijp ik goed wat van me wordt gevraagd?
Als je vindt dat het niet klopt, zijn er 2 mogelijkheden:
1: je reken verkeerd uit.
2: het te bewijzen dan wel de opgave klopt niet.
Als je vindt dat het niet klopt, zijn er 2 mogelijkheden:
1: je reken verkeerd uit.
2: het te bewijzen dan wel de opgave klopt niet.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)