relatief en absoluut maximum

[idefix]

f(c) is een relatief maximum als

voor elke x in een open interval rond c.


f(c) is een absoluut maximum als

voor elke x in een bepaald deel van het domein van x.

Dit betekent dat een eindpunt van een interval geen relatief maximum maar wel een absoluut maximum kan zijn.
(gelijkaardig voor rel. en abs. minimum)
Heb ik dit juist begrepen?

[SafeX]

Je kan het beste met vbn werken.
Het betreft hier maxima en minima van functies op een interval en/of domein. Wat is trouwens het domein van een functie? En wat is het bereik van een functie?
Geef zelf eens vbn van functies waar je aan denkt of gezien hebt.

[idefix]

Met eigen woorden (opzoeken in mijn boek zou valsspelen zijn):

Het domein van een functie is de verzameling getallen waarvoor deze functie gedefinieerd is.

Bijvoorbeeld (als we niet met complexe getallen werken)
f(x) = x² domein: de reële getallen

Het domein van g(x): alle positieve reële getallen en 0, want als we ons beperken tot de reële getallen, is de vierkantswortel van x niet gedefinieerd voor negatieve getallen.

Het domein van h(x): alle reële getallen behalve 2 (want delen door 0 is niet toegelaten)

Het bereik van een functie is de verzameling van de functiewaarden van deze functie.
Bijvoorbeeld:
f(x) = x² bereik: de positieve reële getallen en 0 (want een kwadraat kan niet negatief zijn)

Het bereik van g(x): de reële getallen

Het bereik van h(x) is de verzameling reële getallen behalve 1want door y = 1 loopt een horizontale asymptoot.

Een "deel" van een domein behoeft niet veel uitleg: als we voor f(x) = x² enkel het interval [-2, 2] in beschouwing nemen, gebruiken we een deel van het domein.

Tot zover het antwoord op uw eerste vragen. Als deze juist zijn, ga ik enkele voorbeelden geven van relatieve en absolute extrema. Ik doe liever stap per stap, omdat ik in mijn vorige post verschillende fouten tegelijk deed en dat verwarrend werkte.

[SafeX]

Dit is allemaal juist.

[idefix]

Voor f(x) = x² geldt (op haar domein):

Ze heeft een absoluut minimum op (0,0): een kleinere waarde zal ze niet aannemen.
Ze heeft een relatief minimum op (0,0): het is de kleinste waarde in de omgeving van x = 0 (met omgeving bedoel ik hier zowel links als rechts, een interval rond x).
Ze heeft geen absoluut maximum: hoe hoger/lager x, hoe hoger y. f(x) neemt dus nooit een grootste waarde aan.
Ze heeft geen relatief maximum: er is geen punt x zodat f(x) de grootste waarde aanneemt van de omgeving van x.

Voor f(x) = x² op het interval [-2, 2] geldt:

ze heeft weerom een relatief en absoluut minimum op (0,0).
Ze heeft een absoluut maximum, nl. 4: één keer op (-2,4) en één keer op (2, 4).
Ze heeft ook geen relatief maximum: er is geen punt x zodat f(x) de grootste waarde aanneemt van de omgeving van x. De eindpunten zijn geen relatieve maxima omdat ze geen omgeving hebben (intervallen rónd die punten).

Een functie f(x) = x³ + 2x² heeft geen absolute extrema op haar domein, want links gaat ze naar -oneindig en rechts naar +oneindig.
Ze heeft een relatief minimum op (0,0).
Ze heeft een relatief maximum op

de afgeleide f'(x) = 3x² + 4x heeft namelijk nulpunten 0 en -4/3. Deze waarden ingevuld in f(x) geven de extrema.

[SafeX]

Dit is wel zeer uit gebreid, maar over 't algemeen in orde.
Een paar punten:
Als je het hebt over een absoluut min/max dan dan is het begrip relatief niet meer aan de orde.
Eigenlijk begin je met relatieve extremen daarna kijk je of ze eventueel absoluut zijn.
Dus: een absoluut min/max is altijd relatief maar niet andersom.

f(x)=x² op bv [-1,2]
heeft een absoluut min in (0,0)
Maar wel degelijk een relatief max in (-1,1) en een absoluut max in (2,4). Dit zijn zogenaamde randextremen.
Komt dat in je boek niet voor?

Zijn er nog vragen? (buiten deze post van jou)

[idefix]

Het begrip "randextremen" komt in mijn boek niet voor als dusdanig.
Maar ik snap het wel.

Verder heb ik geen vragen meer. Weerom hartelijk bedankt!

[SafeX]

OK! Succes.