ellips en raaklijn

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 11 nov 2010, 08:52

SafeX schreef: Dit moet zijn: (1-t)x + ty = 1
Oeps :oops: Was inderdaad mis.
SafeX schreef: En wat zien we als we het punt (1,1) nemen?
Dat deze vergelijking klopt voor elke t
x -tx + ty - 1 = 0
1-tx + ty - 1 = 0
tx =ty (aangezien we x = y = 1 nemen:)
t = t
SafeX schreef: Conclusie?
De poollijn van elk punt op de lijn x/25+y/16=1 gaat door het punt (1,1).

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 11 nov 2010, 09:12

Juist.

En nu nog de toepassing op het vraagstuk als toetje.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 11 nov 2010, 21:42

Sorry, ik moet toch een kleine hint vragen? Heb je ook afgeleiden nodig ivm extremen of is dit op te lossen zonder deze methode?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 11 nov 2010, 22:33

Je ziet dat vanzelf, maar bij extremen heb je (heel) vaak de afgeleide nodig. Is daar een probleem mee?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 12 nov 2010, 07:39

Neen, geen probleem mee, maar ik weet niet goed hoe te beginnen aan dit vraagstuk (met de kennis van poollijnen en polen).
Maar goed, ik ga er vandaag nog eens op kauwen.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 12 nov 2010, 11:48

Toevallig gelezen gisteren (over bewijzen):

Finding the first bit of the path is the hard part.


Inderdaad!

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 12 nov 2010, 16:04

Een tip in welke richting ik moet denken?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 12 nov 2010, 16:58

Het gaat om de raaklijn uit (0,k) aan de ellips, die heb je al eerder bepaald.
Nu is het de bedoeling om die raaklijn te vinden via de poollijn van (o,k) tov de ellips.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 13 nov 2010, 10:17

Als we het punt (0, k) beschouwen, dan heeft dat een poollijn p (y = 16/k), dit wil zeggen een horizontale poollijn. Nu weten we dat elk punt op p een poollijn heeft die door (0, k ) gaat. Hoe verder we naar rechts gaan op p (binnen de ellips) hoe meer deze poollijn de raaklijn aan de ellips benadert.

Tot hier is nog alles juist, hoop ik.

Edit: je moet ook een punt (j, 0) beschouwen, waar de poollijn van je punt op p de x-as snijdt. Hoe verder je op p naar rechts gaat, hoe kleiner j wordt.

Als de som j+k minimaal is, dan is de afstand ertussen 9. Dit moet ik aantonen, maar ik ben hier weer in cirkels aan het lopen.
Laatst gewijzigd door idefix op 13 nov 2010, 10:27, 1 keer totaal gewijzigd.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 13 nov 2010, 10:25

Je snijdt deze poollijn met de ellips. Wat weet je van de lijn door een snijpunt en de pool?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 13 nov 2010, 10:32

SafeX schreef:Je snijdt deze poollijn met de ellips. Wat weet je van de lijn door een snijpunt en de pool?
Bedoel je de poollijn p van (0, k)? Of de poollijn die je krijgt door op de lijn p een punt als pool te nemen?
In elk geval: de lijn door een snijpunt van de poollijn met de ellips en de pool is een raaklijn.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 13 nov 2010, 12:28

Nee, het gaat om de poollijn van (0,k) tov de ellips. Snijden met de ellips geeft twee snijpunten. Kies het snijpunt in het eerste kwadrant (hoe?) en bepaal de verg van de lijn door dit snijpunt en (0,k). Wat weet je van deze lijn?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 13 nov 2010, 20:01

Ik kies het snijpunt (x1, y1) in het eerste kwadrant door x1 en y1 positief te nemen. Het andere snijpunt heeft een positieve y1, maar negatieve x1.

De vergelijking van deze lijn is:


Deze lijn is de raaklijn aan de ellips in het punt (x1,y1) en heeft dus ook als vergelijking

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ellips en raaklijn

Bericht door SafeX » 13 nov 2010, 21:23

Begin eens opnieuw.
Punt K(0,k) met k>4 heeft een poollijn tov de ellips:
1. Geef de verg van de poollijn.
2. Snijd de poollijn met de ellips. Wat zijn de snijptn?
3. Kies het snijpunt in het eerste kwadrant.
4. Geef de verg van de raaklijn in dat snijpunt.

Daarna geef ik commentaar op je vorige post.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: ellips en raaklijn

Bericht door idefix » 13 nov 2010, 22:09

1. De vergelijking van deze poollijn is


en dus y = 16/k

2. Als we deze y invullen in de formule van de ellips, krijgen we

Dus de snijpunten van de poollijn met de ellips zijn:


en

3. Alleen het laatste punt ligt in het eerste kwadrant.
4. De vgl van de raaklijn luidt:

en dus

Plaats reactie