Vierdegraadsfuncties en phi

[MaartenM]

Hoi,

Mijn profielwerkstuk gaat over 't getal phi en de gulden snede en alle toeters en bellen, en nu heb ik een interessante eigenschap gevonden.

Namelijk, als je een willkeurige vierdegraadsfunctie neemt waarvoor geldt dat 'ie twee buigpunten heeft (dus f''(x) = 0 geeft twee oplossingen die twee extremen opleveren bij f'(x)), een lijn trekt door de twee buigpunten heen, dan de verhouding van de afstand tussen de buigpunten en het doorgetrokken lijnstuk die de grafiek raakt, precies weer phi. (Volgen jullie 't nog?)

Ter verduidelijking: (plaatje is te groot voor dit forum, en als ik 't resize is het heeeel onduidelijk.)

http://img716.imageshack.us/img716/3381/goldenratio.jpg

A en B zijn de buigpunten, C en D zijn punten op de grafiek die ontstaan als je de lijn doortrekt.
'b' is afgerond door GeoGebra 1,618.... de verhouding AB/AC.

Hoe valt dit aan te tonen dat dit bijvoorbeeld altijd zo geldt, en waarom is dit zo?

[SafeX]

Ik zie dat er een lijn gaat door de buigptn, maar dan heb je het over de grafiek raken, terwijl deze lijn de grafiek snijdt.
Hoe zit het met AB/BD? Het zou niet uit mogen maken welk punt je kiest A of D.
Hoe kan je het aanpakken?
De lijn door de buigptn ligt voor elke grafiek vast evenals de snijptn. Je kan dus de afstanden bepalen en daarmee de verhoudingen. Het probleem zit 'm dan in het oplossen van een vierde-graads verg, maar twee snijptn ken je, dus ... ?

[op=op]

Als dat klopt is dat een fraaie eigenschap!
(En als het klopt vrees ik dat dat al bekend is, maar dat mag de pret niet drukken).

Om het te bewijzen zou je het volgende kunnen doen.
In de vergelijking mag je veronderstellen.
(Dat komt omdat, als je het rechter lid met een getal vermenigvuldigt, dan worden alle y-waarden met dat getal vermenigvuldigt, en dat heeft geen enkele invloed op de eigenschap die je hebt gevonden).

Je mag ook veronderstellen, omdat dat alleen maar betekent dat je de grafiek naar links schuift.

Je hoeft dus alleen te bekijken .

Nog handiger is
(Hier is dus c vervangen door , en dat is ok omdat dat getal altijd negatief moet zijn, omdat je anders niet 2 buigpunten krijgt.)

Laat eens horen of het klopt.

[SafeX]

Je mag ook veronderstellen, omdat dat alleen maar betekent dat je de grafiek naar links schuift.

Dit moet je wel even laten zien.

[op=op]

Substitueer .
Dan ontstaat een vkv waarvan elk van de nulpunten groter is dan in de oorspronkelijke vergelijking.
Dus de som van de nulpunten wordt groter dan de som van de nulpunten van de oorspronkelijke vkv.
De nieuwe som wordt dus -b+b=0, de coeff. van .
(de grafiek schuift naar rechts).

[David]

Dan kan je ook de functie te bekijken. De constante coëfficiënt "e" heeft geen invloed op de buigpunten, en op de afstand tussen de snijpunten. De hele grafiek wordt met "e" verlaagd. De vorm blijft hetzelfde.

[op=op]

Dat klopt, al levert dat nauwelijks enig rekenvoordeel op.

[SafeX]

@MaartenM
Het is de moeite waard om met je onderzoek door te gaan.
Helaas heb je niet gereageerd (op mijn post). Ga vooral in op de kritiek en de aanwijzingen.

[MaartenM]

Sorry dat ik niet heb gereageerd. Zou wel zo netjes zijn aangezien ik een vraag stel en daar binnen 24 een paar goeie antwoorden voor zijn!

Eigenlijk is het tijdstip waarop ik de vraag stelde niet zo slim gekozen. Ik zit momenteel midden in m'n toetsweek en heb nu iets belangerijkers aan m'n hoofd dan 't profielwerkstuk.

Ik zal vrijdag er even goed naar kijken, want als ik 't nu allemaal lees valt 't kwartje niet gelijk, maar dat zal ongetwijfeld goed komen.

In ieder geval bedankt voor jullie reacties en je hoort van me..

Ohja, en op je eerste post SafeX, natuurlijk bedoelde ik snijden, en niet raken.
Ik moet natuurlijk wel even blijven opletten mbt het verschil tussen Nederlandse taal en wiskunde taal hehe.

[MaartenM]

Er zijn een paar dingen die ik niet begrijp.

Ik wil dus op een 1 of andere manier bewijzen dat geldt voor een vierdegraadsfunctie die twee buigpunten heeft, de verhouding, van dat lijnstuk daartussen en waar dat lijnstuk de grafiek verder snijdt, altijd phi is.

Nu zegt op=op dat je x^3 als 0 kan stellen, omdat 't alleen maar zou betekenen dat je hem met naar links zou schuiven.
Hierbij zeg je "substitueer .

Waar komt dit vandaan? En waarom zou je dit substitueren voor x? en dat betekent dus dat de vergelijking niet 1 wordt met 4 x'en maar met 4 keer een , alleen dan nog met een macht erna, en een constante ervoor?

En de stap van naar is me ook niet heeeelemaal duidelijk.

En, wat is jullie suggestie voor de eerste stap(pen) die ik zou moeten doen ?

[SafeX]

Dat is ook niet duidelijk, maar ik vind dat op=op daar maar even z'n best op moet doen om je dat te verklaren.
In feite heeft hij dat al aangegeven. Misschien nuttig om dat nog eens te bekijken en dan met vragen te komen.

Maar je bent nog niet ingegaan op mijn kritiek en vragen!

[MaartenM]

SafeX, je zei "Hoe zit het met AB/BD? Het zou niet uit mogen maken welk punt je kiest A of D."

Wat bedoel je hier precies mee? Bedoel je dat 't per punt A en D niet uitmaakt waar op de grafiek? Dus dat B als vast punt, en dat je A en D verschuift over de grafiek, en dat dus de verouding nog steeds 1,618 blijft?


Het berekenen van de afstanden tussen de buigpunten A en B is nog te doen. dmv 2e afgeleide 0 te stellen, kan je de x en y coordinaten vinden van de buigpunten en dan mbv pythagoras de afstand daartussen bepalen.

Maar het berekenen van coordinaten C en D lijkt me wat lastig omdat je dan de functie moet opstellen van die rechte lijn door de buigpunten, en die gelijkstellen aan de vierdegraadsvergelijking.

dan krijg je dus 4 oplossingen, maar veel verder dan een tweedegraadsfunctie oplossen gaan mijn algebraische rekenkunsten niet. Grafisch oplossen kan wel, maar dan is 't vrij lastig om te bewijzen dat dit altijd geldt?

Want zoals ik me kan herinerren van Bewijzen in de vlakke meetkunde, moet je het algemeen aantonen, en niet voor 1 geval waarvoor 't geldt.

[SafeX]

Klopt, maar je weet twee van de opl van je verg. Kan je daarmee aan de gang.
Probeer het eens met een concreet vb.

[MaartenM]

Concreet voorbeeld, aangenomen dat ik inderdaad de x^3 kan weglaten, en de constante e heb ik ook weggelaten.

Iets andere functie dan in m'n openingspost, maar dat zou dus (wat ik dus wil aantonen) niet uit mogen maken. Ik zal maar beginnen met de functie opstellen van de rechte lijn door de buigpunten van f(x).

Ik neem




of


dan zijn de y coordinaten, afgerond (in de verdere berekeningen heb ik de onafgeronde waarden gebruikt)



Dan is de richtingscoefficitent van de lijn tussen A en B


(wonderbaarlijk genoeg..maar dat zal wel alleen voor deze functie gelden?)

Dan om b te vinden, punt A of B invullen, ik kies A.




Om dus alle snijpunten te vinden moet ik dus de vierdegraadsfunctie gelijkstellen aan de verkregen lineaire functie:


Alles naar links halen, en dat gelijkstellen aan 0, dan onstaat een nieuwe vierdegraadsvergelijking met alleen een vierde- en tweedemacht.

(Ik neem aan dat ik hier niet zomaar de constante e (= kan weghalen, omdat dan de functie verandert en dan de twee functies niet meer 'bij elkaar horen'?)

Substitueer

ABC formule geeft twee oplossingen, ik substitueer u weer terug naar
of


De bovenste oplossing voor geven de bekende oplossingen!
De andere twee:
of


(wordt wel een hele lange post dit..)

Afgerond zijn de y waardes, en dus de punten C en D zijn:



Even een grafisch overzichtje:


Ik ga niet dit allemaal uitwerken wat de afstanden zijn, dit neemt zinloos veel ruimte en tijd in en ik weet toch hoe het moet. Met behulp van geogebra:

Afstand A tot C = ~1,43
Afstand A tot B = ~2,31
Afstand B tot D = ~1,43 = A tot C...

--> phi.
--> phi.
Maar nu heb i khet dus alleen voor f(x) aangetoond, dit wil niet zeggen dat het altijd zo geldt (ook al heb ik een puur willekeurige vierdegraadsfunctie genomen.)

[SafeX]

Je moet wel exact blijven rekenen (geen afrondingen). Het gaat wel goed!
In je verg kan je x²=t stellen, los t op en daarna x. Verrast het je?