een vier

Fab · Bericht door **Fab** » 15 nov 2010, 19:06

http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/limits_tech1.html

Bij het laatste voorbeeld (example acht) zie ik iets over het hoofd. Het zal wel iets te maken hebben met de algebra maar ik zie niet wat.
Je ziet daar bij de langste formule vanonder "u tot de vierde" maar ik begrijp niet waarom de auteur "x tot de tweede" vervangt door "u tot de vierde". Waarom tot de vierde en waarom kiest hij "x tot de tweede" als zijn bedoeling gewoonweg vervanging van sqrt(x) is ?

alvast bedankt,

fab

Bericht door **David** » 15 nov 2010, 19:13

Ontbinden in factoren gaat doorgaans eenvoudiger als de exponenten geheel zijn. Om dat te bereiken wordt de substitutie toegepast.

Bericht door **SafeX** » 15 nov 2010, 19:15

Ipv sqrt(x) schrijf je u, kan je dan de eerste stap van de limiet (overgang naar u) volgen?
Nee dus!
Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))²=... en wat is (sqrt(x))² uitgedrukt in x?

Bericht door **David** » 15 nov 2010, 21:09

Find the limit:

de auteur uit je link schreef: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Fab schreef:waarom kiest hij "x tot de tweede" als zijn bedoeling gewoonweg vervanging van $\sqrt{x}$ is ?

De auteur heeft die $x^2$ niet gekozen bij het oplossen, die zat in de opgave, en kan"dus gevraagd worden.
Je zou het nog “anders” kunnen benaderen; omdat het getal waar de limiet naartoe gaat positief is, zijn negatieve “x” niet zozeer van belang.
Je zou met die gedachte dus ook kunnen alleen kunnen herschrijven:
$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^c-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$
“x” is vanaf hier dus positief.
Merk op dat ik voor nu als exponent c heb staan.

Je schreef:maar ik begrijp niet waarom de auteur "x tot de tweede" vervangt door "u tot de vierde".

Door gebruik te maken van $\sqrt{x}=x^{0.5}$ , is c te bepalen. Lukt je dat?
Dat is een mogelijke en goede verklaring voor de exponent “4” in de uitwerking.

Zo is als variabele alleen $\sqrt{x}$ over. Je zou dus kunnen gaan ontbinden in factoren met als "variabele" $\sqrt{x}$ . Uit luiheid; je moet “helemaal” een wortel opschrijven telkens, terwijl dat te vermijden is, of uit gemak, je leert ontbinden in factoren meestal door te beginnen met variabelen met exponent 1, of zonder wortelteken, dus het “waarom” in je vraag, kan je ook verklaren “teruggaan naar wat je gewend bent.”
Je zou het dus ook zonder kunnen, maar zoals de auteur al aangeeft (ik noem het in zijn woorden) :

de auteur uit je link schreef:Here it helps to do a substitution

Het helpt, het is niet persé nodig, maar het kan het voor jezelf een stuk gemakkelijker maken. Wat je geleerd wordt is hoe je een substitutie nuttig kan gebruiken.

Je schreef:Bij het laatste voorbeeld (example acht) zie ik iets over het hoofd.

Is mijn conclusie dat je de andere voorbeelden wel begrijpt en kan toepassen op dit probleem juist? Kan je dan zo verder?

Fab · Bericht door **Fab** » 16 nov 2010, 14:58

SafeX schreef:Ipv sqrt(x) schrijf je u, kan je dan de eerste stap van de limiet (overgang naar u) volgen?
Nee dus!
Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))²=... en wat is (sqrt(x))² uitgedrukt in x?

Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))² toch u² en niet u^4. Wat hij doet is een variabele definiëren en deze dan vervangen (maar waarom dat kan ik niet uitleggen misschien zit hier het (mijn) probleem).

David schreef:
Je schreef:Bij het laatste voorbeeld (example acht) zie ik iets over het hoofd.
Is mijn conclusie dat je de andere voorbeelden wel begrijpt en kan toepassen op dit probleem juist? Kan je dan zo verder?

ik begrijp het min of meer. Wat hij vooral doet is technieken aanhalen om een limiet te vinden in verschillende omstandigheden (alleen als de noemer 0 is bij directe subtitutie) en in die omstandigheden bevinden zich soorten veeltermen (als wortelfuncties, rationale functies etc...) waarbij de limiet door termen te wissen achterhaalbaar is. Ik kan dat wel mechanisch doen door de limietwetten toe te passen (niet vlot) maar ik begrijp het beeld nog niet zo goed denk ik ofwel zie ik iets doms over het hoofd wat te maken heeft met machtswetten. Dat kan ook. ik weet dat x^0.5 tot de tweede x is en niet x^4.

Bericht door **SafeX** » 16 nov 2010, 15:38

Fab schreef:
SafeX schreef:Ipv sqrt(x) schrijf je u, kan je dan de eerste stap van de limiet (overgang naar u) volgen?
Nee dus!
Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))²=... en wat is (sqrt(x))² uitgedrukt in x?
Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))² toch u² en niet u^4. Wat hij doet is een variabele definiëren en deze dan vervangen (maar waarom dat kan ik niet uitleggen misschien zit hier het (mijn) probleem).

"Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))² toch u²".
En (sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)
Klopt, maar wat wordt dan x²?
Als je deze substitutie uitvoert ben je de sqrt kwijt. Wat vind je daarvan?

Fab · Bericht door **Fab** » 16 nov 2010, 16:17

SafeX schreef:"Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))² toch u²".
En (sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)
Klopt, maar wat wordt dan x²?
Als je deze substitutie uitvoert ben je de sqrt kwijt. Wat vind je daarvan?

ik vindt er niets van terug. Welk simpel concept moet ik kennen om te snappen hoe je aan exponent 4 komt ? help me aub...kun je me die afleiding resoluut geven ?

Bericht door **SafeX** » 16 nov 2010, 16:28

Fab schreef:
SafeX schreef:"Als sqrt(x)=u, dan is (sqrt(x))² toch u²".
En (sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)
Klopt, maar wat wordt dan x²?
Als je deze substitutie uitvoert ben je de sqrt kwijt. Wat vind je daarvan?
ik vindt er niets van terug. Welk simpel concept moet ik kennen om te snappen hoe je aan exponent 4 komt ? help me aub...kun je me die afleiding resoluut geven ?

Wat komt er op de puntjes te staan?
En (sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)?

Fab · Bericht door **Fab** » 16 nov 2010, 16:38

SafeX schreef:Wat komt er op de puntjes te staan?
(sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)?

(sqrt(x))² = sqrt(x)*sqrt(x) = x

x toch ?

Bericht door **David** » 16 nov 2010, 16:44

Je schreef:ik begrijp het min of meer. Wat hij vooral doet is technieken aanhalen om een limiet te vinden in verschillende omstandigheden (alleen als de noemer 0 is bij directe subtitutie) en in die omstandigheden bevinden zich soorten veeltermen (als wortelfuncties, rationale functies etc...) waarbij de limiet door termen te wissen achterhaalbaar is. Ik kan dat wel mechanisch doen door de limietwetten toe te passen (niet vlot) maar ik begrijp het beeld nog niet zo goed denk ik ofwel zie ik iets doms over het hoofd wat te maken heeft met machtswetten. Dat kan ook. ik weet dat x^0.5 tot de tweede x is en niet x^4.

Ben je niet bekend met $(x^a)^b=x^{ab}$ ?
Vergelijk eens met $(2^2)^3=2^{...}$ Wat staat er op de puntjes?
$x^{0.5}^c=x^{0.5c}=x^2$ $Wat je doet is de \sqrt{x}$ u stellen, maar dan moet je eerst weten wat de exponent voor u wordt bij x^2. Die kan je bijv. zo bepalen.

Bericht door **SafeX** » 16 nov 2010, 16:51

Fab schreef:
SafeX schreef:Wat komt er op de puntjes te staan?
(sqrt(x))²=... (uitgedrukt in x)?
(sqrt(x))² = sqrt(x)*sqrt(x) = x

x toch ?

Precies. Kijk nu ook terug:
Dus: x=u² en x²=...

Fab · Bericht door **Fab** » 16 nov 2010, 17:40

David schreef:Ben je niet bekend met $(x^a)^b=x^{ab}$ ?
Vergelijk eens met $(2^2)^3=2^{...}$ Wat staat er op de puntjes?

6 ja

$x^{0.5}^c=x^{0.5c}=x^2$ Wat je doet is de $\sqrt{x}$ u stellen, maar dan moet je eerst weten wat de exponent voor u wordt bij x^2. Die kan je bijv. zo bepalen.

dus $c = 4$ hier ? Omdat dus $x^{0.5c} = \sqrt{x^c} = u^c$ en $c$ moet $4$ zijn omdat men dan $x^2$ krijgt als vervangbare waarde. Ik denk dat ik het snap. Ik moest gewoon achterwaarts denken: $u^4 = \sqrt{x}^ 4 = x^2$ ; zo had ik eerder de link kunnen leggen. Ik denk dat men in de wiskunde links moet leggen in plaats van vinden want als je iets probeert te vinden dan vindt je niks in de lucht. (Ik wist bijvoorbeeld dat $(x^a)^b = x^{ab}$ (hier is niets aan maar probeer het proces maar verder te ontleden) maar de essentie ontglipte me (achterwaarts denken ?) of heeft achterwaarts denken hier niets mee te maken en draait het toch om verbanden te vinden in plaats van te leggen; zomaar in de lucht ? Bestaat er een verschil tussen verbanden leggen en verbanden vinden ? "Neerschrijven" en "vinden" zijn twee verschillende dingen ja. Het draait om de notatie na het "aha" moment. Maar welke rol speelt achterwaarts denken in de wiskunde ? substitutie ?

Bericht door **David** » 16 nov 2010, 18:36

Fab schreef:
David schreef:Ben je niet bekend met $(x^a)^b=x^{ab}$ ?
Vergelijk eens met $(2^2)^3=2^{...}$ Wat staat er op de puntjes?
6 ja

Ik gaf je de oefening om te verifiëren of je de regel begrijpt. Gelukkig doe je dat!

Je kan u^4 ook "voorwaarts" vinden.

de auteur uit je link schreef: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Bij het invullen van de waarde "1" voor x, vind je dat dat niet gaat, omdat je 0/0 vindt. Wat je dan probeert is de formule te herschrijven, te ontbinden in factoren.
Als je ziet staan: $u^4-u$ , kan je dat waarschijnlijk eenvoudiger ontbinden dan $x^2-\sqrt{x}$ . Je haalt eerst "u" buiten haakjes, en dan verder met u(u^3-1) ontbinden. Het voorwaartse denken is dat je van de wortel afwilt. Om dat te doen, vul je in: $\sqrt{x}=u$ . Je hoeft niet persé voor u te kiezen. Eventueel zou je voor jezelf kunnen schrijven:
$\frac{x^2-\sqrt{u}}{\sqrt{u}-1}$ en merken dat nog een term met de variabele x beschreven wordt. Dat raad ik wel af op je tentamenformulier, maar doe dat evt. op een vel kladpapier.

De volgende voorwaartse stap is dat je afvragen hoe je van $\sqrt{x}$ bij x^2 “komt”
Vraag je af: Hoe wordt $\sqrt{x}$ ook geschreven? Als $x^0.5$ .
Kan ik van daaruit bij $x^2$ “komen”? Wat heb ik daarvoor geleerd? Misschien werkt: (x^0.5)^b=x^2 wel, laat ons dat eens proberen, Voor niet-negatieve x. Met wat ervaring “herken” je sneller wat geschikt is. Het blijkt dat je dat regeltje kunt gebruiken, zodat je vind: $(x^0.5)^4=x^2$ (voor niet-negatieve x). Dat is fijn! we hadden al gezegd dat $u=\sqrt{x}=x^{0.5}$ . Alles wat ik nog moet doen is invullen zodat $x^2 = u^4$
Dus $x^2=(x^0.5)^4=(\sqrt{x})^4=u^4$

Snap je de voorwaartse gedachtestappen die ik maak? Je gaat eerst kijken wat mogelijk is, of je het jezelf makkelijker kan maken en hoe je het jezelf makkelijker kan maken. Heb je destijds wel eens een vergelijking als x^4-2x^2+1=0 opgelost? Zo ja, hoe deed je dat?

Je schreef:Bestaat er een verschil tussen verbanden leggen en verbanden vinden ? "Neerschrijven" en "vinden" zijn twee verschillende dingen ja.

Dit gedeelte komt erg filosofisch op me over. Ik denk zelf dat we in letterlijke zin verbanden vinden. Dat wil zeggen: de verbanden zijn er al en wij vinden ze. In die zin zou ik niet zeggen dat we verbanden leggen (in de zin dat: er is niets en in dat niets leggen, “maken” wij verbanden.) In mijn overtuiging: Wij maken de aannamen, bijv. we definieren het fysieke aantal $[tex]$ \cdot $[tex]$ onder het symbool “1”, en $\cdot \cdot$ als het symbool 2 in o.a. een 10-tallig getallenstelsel. Met die aannamen vinden wij verbanden die dan gelden.

Metaforisch: Je zou dergelijke problemen als een reis kunnen voorstellen waarin je verbanden gaat ontdekken. Nu leer je allerlei technieken om die verbanden (sneller) te kunnen ontdekken. Na vallen en opstaan leer je van eventuele “fouten” en ga je in een nieuwe situatie gebruiken wat je met het vallen, en gevonden verbanden, hebt geleerd. Je aha-moment gebruik je weer in andere problemen, die je hopelijk steeds sneller oplost.

Essentie is dat je het nut van een substitutie begrijpt, en voor jezelf kan toepassen op dergelijke problemen.

Fab · Bericht door **Fab** » 16 nov 2010, 19:53

David schreef: Heb je destijds wel eens een vergelijking als x^4-2x^2+1=0 opgelost? Zo ja, hoe deed je dat?

Ik ben het vergeten. Dat had ook iets te maken met substitutie dacht ik maar er bestaan verschillende manieren om dat op te lossen. Je kan er "zoveel maal" een cubische vergelijking van maken of je ziet deze vergelijking als een product van twee kwadratische... Ik ken geen methode uit mijn hoofd. Hoe los je zoiets op ? Er komt wat "raadwerk" bij kijken ook dacht ik he of is dit raden variabelen definiëren en uitproberen ?

wacht zo zou ik dat oplossen:

$x^4-2x^2+1=0$
$x^2(x^2-2)+1=0$
$x^2(x^2-1)=0$
$x^2(x+1)(x-1)=0$

maar zo krijg ik maar 3 wortels en ik zou er 4 moeten hebben.

Bericht door **David** » 16 nov 2010, 20:24

Fab schreef: $x^4-2x^2+1=0$
$x^2(x^2-2)+1=0$

Dit klopt nog. Ik zou het zelf alleen anders aanpakken. kan je er op een of andere manier een 2e graads vergelijking van "maken?"

Wiskundeforum

een vier

een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier

Re: een vier