Oplossing integraal?

[saskia]

Ik ben al heel lang bezig met de volgende integraal:

1/(x + 2 * sqrt(x -1) ) dx

Ik heb:
u = sqrt(x - 1)
u^2 = x - 1
x = u^2 + 1

1/(x + 2 * sqrt(x -1) ) dx = 1/(u^2 + 1 + 2u)du^2+1 =

2u/(x + 1)(x + 1) du = 2u + 2 - 2/(u + 1)(u + 1)du =

2(u + 1) - 2/(u + 1)(u + 1) du = (2 - 2/(u + 1))/(u + 1) du =

2/(u + 1) du - 2/(u + 1)^2 du =

2 ln(sqrt(x - 1) + 1) - 2 * -1 * (sqrt(x - 1) + 1)^-1 =

2ln(sqrt(x - 1) + 1) + 2(1/sqrt(x - 1) + 1)

Ik vraag mij af of dit goed is. Of dat er nog iets bij moet. Als je de kettingregel gaat gebruiken moet het nog maal wat achter de ln staat. En dan kom ik tot iets anders.

[SafeX]

Het ziet er heel goed uit.
Waarom je onzekerheid?
Je kan toch altijd weer differentiëren ...

En eventueel is er ook nog integreren online.
Laat anders het weer differentiëren zien.

[saskia]

Dank je! Geweldig forum trouwens.

Ik heb gedifferentieerd en kom dan tot iets anders:

2 ln (sqrt(x - 1) + 1) + 2/(1/sqrt(x - 1) + 1)

2 * 1/(sqrt(x - 1) + 1) * 1/(2 * sqrt(x - 1) + (-2/(2sqrt(x - 1))/(sqrt(x - 1) + 1)^2 =

2/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) + -2/(sqrt(x - 1) + 1)^2 * (2 * sqrt(x - 1) =

2/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) + -2/(sqrt(x - 1) + 1)/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) =

((2 - 2/(sqrt(x - 1) + 1))/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1)) * sqrt(x - 1) + 1/sqrt(x - 1) + 1 =

2 * sqrt (x - 1) + 2 - 2/(x - 1 + 1) * 2 * sqrt(x - 1) =

2 * sqrt(x - 1)/x * 2 * sqrt( x - 1)

Ik zie niet waar er iets fout zit.

[SafeX]

Dank je! Geweldig forum trouwens.

Ik heb gedifferentieerd en kom dan tot iets anders:

2 ln (sqrt(x - 1) + 1) + 2/(1/sqrt(x - 1) + 1)

2 * 1/(sqrt(x - 1) + 1) * 1/(2 * sqrt(x - 1) + (-2/(2sqrt(x - 1))/(sqrt(x - 1) + 1)^2 =

2/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) + -2/(sqrt(x - 1) + 1)^2 * (2 * sqrt(x - 1) =

2/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) + -2/(sqrt(x - 1) + 1)/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1) =

((2 - 2/(sqrt(x - 1) + 1))/(sqrt(x - 1) + 1) * (2 * sqrt(x - 1)) * sqrt(x - 1) + 1/sqrt(x - 1) + 1 =

2 * sqrt (x - 1) + 2 - 2/(x - 1 + 1) * 2 * sqrt(x - 1) =

2 * sqrt(x - 1)/x * 2 * sqrt( x - 1)

Ik zie niet waar er iets fout zit.

De eerste regel (het differentiëren) gaat goed:
Ik herhaal dat in LaTeX:

Om de vorm overzichtelijk te houden vervang ik de wortel door w:


Je ziet dat je de factoren 2 kwijt bent (?).
Haal daarna 1/w buiten haakjes en tel de twee breuken (binnen de haakjes) op.

Vraag: hoe differentieer jij 1/x² naar x?

[saskia]

Helemaal gelukt! Dank je wel.

Ja, ik zag dat ik de factoren 2 dan kwijt ben. En 1/x^2 = x^-2
Wordt -x^-1 = - 1/x

Ik heb nog meer integralen staan, maar die ga ik eerst zelf proberen.

[SafeX]

OK! Maar:

En 1/x^2 = x^-2
Afgeleide: -x^-1 = - 1/x

Iets te snel, misschien?

[MaartenM]

OK! Maar:

En 1/x^2 = x^-2
Afgeleide: -x^-1 = - 1/x

Iets te snel, misschien?

Dat lijkt verdacht veel een integraal van 1/x^2.

[saskia]

Ik moet me dan natuurlijk niet vergissen.

Nog een poging.

1/x^2 = x^-2

dan wordt het -2 * x^-3 = -2/x^3

[SafeX]

Ok, ik wilde alleen even weten of je de qoutiëntregel zou toepassen. Is dit van belang ivm je opgave?

[saskia]

Ik vind dit een lastige vraag. Ik zat de som door te kijken waar het van toepassing is. Maar niet helemaal duidelijk. Wel dat je het kunt toepassen op 1/((sqrt(x - 1) + 1)^2 en dat je dan twee keer differentieert. Maar of dat het is?

[SafeX]

Hoe heb je deze vorm naar x gedifferentieerd?
2/(1/sqrt(x - 1) + 1)